与えられた二つの式を因数分解する問題です。 (1) $a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$ (2) $a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)$

代数学因数分解多項式対称式
2025/7/3

1. 問題の内容

与えられた二つの式を因数分解する問題です。
(1) a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abca^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc
(2) a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)

2. 解き方の手順

(1) について
a,b,ca, b, c のいずれについても2次式なので、aa について整理します。
a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2+2abc=(b+c)a2+(b2+2bc+c2)a+(b2c+bc2)a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = (b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + (b^2c + bc^2)
=(b+c)a2+(b+c)2a+bc(b+c)= (b+c)a^2 + (b+c)^2a + bc(b+c)
=(b+c)(a2+(b+c)a+bc)= (b+c)(a^2 + (b+c)a + bc)
=(b+c)(a+b)(a+c)= (b+c)(a+b)(a+c)
=(a+b)(b+c)(c+a)= (a+b)(b+c)(c+a)
(2) について
a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)a,b,ca, b, c のいずれについても2次式なので、aa について整理します。
a2(bc)+b2(ca)+c2(ab)=(bc)a2+(ca)b2+(ab)c2a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b) = (b-c)a^2 + (c - a)b^2 + (a - b)c^2
=(bc)a2+b2cb2a+c2ac2b= (b-c)a^2 + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b
=(bc)a2(b2c2)a+(b2cc2b)= (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + (b^2c - c^2b)
=(bc)a2(b+c)(bc)a+bc(bc)= (b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)
=(bc)(a2(b+c)a+bc)= (b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)
=(bc)(ab)(ac)= (b-c)(a-b)(a-c)
=(ab)(bc)(ca)= -(a-b)(b-c)(c-a)

3. 最終的な答え

(1) (a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+c)(c+a)
(2) (ab)(bc)(ca)-(a-b)(b-c)(c-a)
または
(2) (ab)(bc)(ca)(a-b)(b-c)(c-a)に-1をかけたもの
(2) (ab)(bc)(ca)(a-b)(b-c)(c-a)

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