関数 $f(x) = x^3 + x$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x=2$ における微分係数、つまり $(f^{-1})'(2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + x$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ の $x=2$ における微分係数、つまり $(f^{-1})'(2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 + x$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を直接求めることは難しいので、逆関数の微分公式を利用します。逆関数の微分公式は以下の通りです。

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

この公式を使って、$(f^{-1})'(2)$ を求めることを考えます。

まず、$f^{-1}(2)$ の値を求めます。これは、$f(a) = 2$ となる $a$ を求めることと同じです。つまり、

$a^3 + a = 2$

となる $a$ を探します。$a=1$ を代入すると、

$1^3 + 1 = 1 + 1 = 2$

となるので、$a=1$ が解の一つです。したがって、$f^{-1}(2) = 1$ です。

次に、$f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^3 + x$ より、

$f'(x) = 3x^2 + 1$

となります。

そして、$f'(f^{-1}(2))$ を求めます。$f^{-1}(2) = 1$ なので、

$f'(f^{-1}(2)) = f'(1) = 3(1)^2 + 1 = 3 + 1 = 4$

となります。

最後に、逆関数の微分公式を使って、$(f^{-1})'(2)$ を求めます。

$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(f^{-1}(2))} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$