関数 $f(x) = 7x^3 + 2\sqrt{x} + 3$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算してください。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 7x^3 + 2\sqrt{x} + 3$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = 7x^3 + 2\sqrt{x} + 3 = 7x^3 + 2x^{\frac{1}{2}} + 3$

$f'(x) = \frac{d}{dx}(7x^3) + \frac{d}{dx}(2x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{dx}(3)$

各項を微分します。

$\frac{d}{dx}(7x^3) = 7 \cdot 3x^2 = 21x^2$

$\frac{d}{dx}(2x^{\frac{1}{2}}) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}(3) = 0$

したがって、

$f'(x) = 21x^2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

次に、$f'(1)$ を計算します。

$f'(1) = 21(1)^2 + \frac{1}{\sqrt{1}} = 21 + 1 = 22$

3. 最終的な答え

22