関数 $f(x) = 4x^3 + 6\sqrt{x} + 24$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x = 1$ における値 $f'(1)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4x^3 + 6\sqrt{x} + 24$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x = 1$ における値 $f'(1)$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = 4x^3 + 6\sqrt{x} + 24$

$f(x) = 4x^3 + 6x^{1/2} + 24$

各項を微分する。

$\frac{d}{dx}(4x^3) = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$

$\frac{d}{dx}(6x^{1/2}) = 6 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}(24) = 0$

したがって、導関数 $f'(x)$ は次のようになる。

$f'(x) = 12x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}$

次に、$x = 1$ を代入して $f'(1)$ を計算する。

$f'(1) = 12(1)^2 + \frac{3}{\sqrt{1}} = 12 + 3 = 15$

3. 最終的な答え

$f'(1) = 15$