関数 $f(x) = 4x^3 + 6\sqrt{x} + 24$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算することが問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 4x^3 + 6\sqrt{x} + 24$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=1$ における値 $f'(1)$ を計算することが問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = 4x^3 + 6\sqrt{x} + 24$ を項ごとに微分します。

・$4x^3$ の微分は $12x^2$ です。

・$6\sqrt{x} = 6x^{\frac{1}{2}}$ の微分は $6 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} = 3 x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ です。

・24 の微分は 0 です。

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = 12x^2 + \frac{3}{\sqrt{x}}$

次に、$f'(1)$ を計算します。$x=1$ を $f'(x)$ に代入します。

$f'(1) = 12(1)^2 + \frac{3}{\sqrt{1}} = 12 + 3 = 15$

3. 最終的な答え

$f'(1) = 15$