関数 $f(x) = (2x^2 + 2x + 8)^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=0$ での値を計算する。つまり、$f'(0)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x^2 + 2x + 8)^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=0$ での値を計算する。つまり、$f'(0)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。合成関数の微分法（チェーンルール）を使います。

$f(x) = (g(x))^2$ の形のとき、$f'(x) = 2g(x) \cdot g'(x)$ となります。

ここで、$g(x) = 2x^2 + 2x + 8$ とすると、$g'(x) = 4x + 2$ となります。

したがって、

$f'(x) = 2(2x^2 + 2x + 8)(4x + 2)$

次に、$f'(0)$ を計算します。

$f'(0) = 2(2(0)^2 + 2(0) + 8)(4(0) + 2)$

$f'(0) = 2(8)(2)$

$f'(0) = 32$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 32$