与えられた関数 $f(x) = (2x^2 + 2x + 8)^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=0$ における値 $f'(0)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = (2x^2 + 2x + 8)^2$ の導関数 $f'(x)$ を求め、その $x=0$ における値 $f'(0)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。これは合成関数の微分なので、以下の公式を使います。

$(g(x)^n)' = n \cdot g(x)^{n-1} \cdot g'(x)$

この問題では、$g(x) = 2x^2 + 2x + 8$ であり、$n = 2$ です。

$g'(x)$ を計算します。

$g'(x) = (2x^2 + 2x + 8)' = 4x + 2$

したがって、$f'(x)$ は次のようになります。

$f'(x) = 2(2x^2 + 2x + 8)(4x + 2)$

次に、$f'(0)$ を計算します。

$f'(0) = 2(2(0)^2 + 2(0) + 8)(4(0) + 2) = 2(8)(2) = 32$

3. 最終的な答え

32