関数 $f(x) = (2x^3 + 2x + 1)^2$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その導関数に $x=1$ を代入したときの値 $f'(1)$ を計算します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x^3 + 2x + 1)^2$ が与えられています。この関数の導関数 $f'(x)$ を求め、その導関数に $x=1$ を代入したときの値 $f'(1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分します。$f(x)$ は合成関数なので、連鎖律（chain rule）を使用します。

連鎖律は、関数 $f(g(x))$ の導関数が $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ で与えられるというものです。

この問題の場合、$g(x) = 2x^3 + 2x + 1$ とすると、$f(x) = (g(x))^2$ となります。

したがって、$f'(x) = 2g(x) \cdot g'(x)$ となります。

$g(x) = 2x^3 + 2x + 1$ を微分すると、

$g'(x) = 6x^2 + 2$ となります。

よって、$f'(x) = 2(2x^3 + 2x + 1)(6x^2 + 2)$ となります。

次に、$f'(1)$ を計算するために、$x = 1$ を $f'(x)$ に代入します。

$f'(1) = 2(2(1)^3 + 2(1) + 1)(6(1)^2 + 2)$

$f'(1) = 2(2 + 2 + 1)(6 + 2)$

$f'(1) = 2(5)(8)$

$f'(1) = 2(40)$

$f'(1) = 80$

3. 最終的な答え

$f'(1) = 80$