関数 $f(x) = (5x + 7)(3x^3 + 6)(10x^3 + 2)$ が与えられたとき、$f'(0)$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (5x + 7)(3x^3 + 6)(10x^3 + 2)$ が与えられたとき、$f'(0)$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

積の微分公式を利用します。$f(x) = u(x)v(x)w(x)$ のとき、

$f'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x)$

となります。

ここで、$u(x) = 5x + 7$, $v(x) = 3x^3 + 6$, $w(x) = 10x^3 + 2$ とおきます。

それぞれの導関数は、

$u'(x) = 5$

$v'(x) = 9x^2$

$w'(x) = 30x^2$

です。

$f'(x) = 5(3x^3 + 6)(10x^3 + 2) + (5x + 7)(9x^2)(10x^3 + 2) + (5x + 7)(3x^3 + 6)(30x^2)$

次に、$x=0$ を代入します。

$f'(0) = 5(3(0)^3 + 6)(10(0)^3 + 2) + (5(0) + 7)(9(0)^2)(10(0)^3 + 2) + (5(0) + 7)(3(0)^3 + 6)(30(0)^2)$

$f'(0) = 5(6)(2) + (7)(0)(2) + (7)(6)(0)$

$f'(0) = 5(12) + 0 + 0$

$f'(0) = 60$

3. 最終的な答え

$f'(0) = 60$