ある水槽を満たすのに、A管は10分、B管は15分かかる。満水になった水槽は栓を抜くと5分で空になる。A管とB管を使って水を入れながら、途中で栓を抜いたところ、そのときから10分で水槽は空になった。栓を抜いたのは、水を入れ始めてから何分後かを求める問題です。 与えられた方程式は、 $\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = \frac{1}{5} \times 10$ です。

1. 問題の内容

ある水槽を満たすのに、A管は10分、B管は15分かかる。満水になった水槽は栓を抜くと5分で空になる。A管とB管を使って水を入れながら、途中で栓を抜いたところ、そのときから10分で水槽は空になった。栓を抜いたのは、水を入れ始めてから何分後かを求める問題です。

与えられた方程式は、

$\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = \frac{1}{5} \times 10$

です。

2. 解き方の手順

まず、方程式を整理します。右辺を計算すると、

$\frac{1}{5} \times 10 = 2$

なので、方程式は

$\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = 2$

となります。

次に、左辺を通分します。10と15の最小公倍数は30なので、

$\frac{3}{30}x + \frac{2}{30}x = 2$

$\frac{5}{30}x = 2$

$\frac{1}{6}x = 2$

両辺に6をかけると、

$x = 2 \times 6$

$x = 12$

となります。しかし、栓を抜いてから10分で空になったとあるので、栓を抜くまでは12分であり、栓を抜いた後10分で水槽が空になったという設定と矛盾します。

問題文の条件と方程式が一致しないため、問題文から正しい方程式を立てる必要があります。

栓を抜くまで$x$分間、A管とB管から給水し、その後栓を抜いて10分で空になるという状況を考えます。A管とB管から給水される割合はそれぞれ$\frac{1}{10}$と$\frac{1}{15}$であり、栓を抜くと$\frac{1}{5}$の割合で水が減ります。よって方程式は

$(\frac{1}{10} + \frac{1}{15})x + (\frac{1}{10} + \frac{1}{15} - \frac{1}{5}) \times 10 = 1$

となります。$x$分間で溜まった水の量と、栓を抜いた後の10分間で溜まった水の量の合計が水槽の容量1になるという式です。

$(\frac{3}{30} + \frac{2}{30})x + (\frac{3}{30} + \frac{2}{30} - \frac{6}{30}) \times 10 = 1$

$\frac{5}{30}x + (\frac{-1}{30}) \times 10 = 1$

$\frac{1}{6}x - \frac{1}{3} = 1$

$\frac{1}{6}x = \frac{4}{3}$

$x = \frac{4}{3} \times 6$

$x = 8$

しかし、問題文から与えられた式をそのまま使うとすると

$\frac{x}{10}+\frac{x}{15}=\frac{1}{5} \times 10$

$\frac{3x}{30}+\frac{2x}{30}=2$

$\frac{5x}{30}=2$

$\frac{x}{6}=2$

$x=12$

考え方を変えて、水槽の容量を1として、A管は1分間に1/10、B管は1分間に1/15の水を入れ、栓を抜くと1分間に1/5の水が減るとします。x分後に栓を抜いたとすると、栓を抜くまではAとBで給水されるので、1分あたり1/10 + 1/15 = 5/30 = 1/6 ずつ水が増えます。栓を抜いてからは、1/6 - 1/5 = 5/30 - 6/30 = -1/30 ずつ水が減ります。栓を抜いてから10分で空になったので、(x/6) + (-1/30) * 10 = 0 となり、これを解くと

x/6 - 1/3 = 0

x/6 = 1/3

x=2

となります。

3. 最終的な答え

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