放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線が、$x$軸と $(-2, 0)$ と $(4, 0)$ で交わるとき、そのような放物線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動した曲線が、$x$軸と $(-2, 0)$ と $(4, 0)$ で交わるとき、そのような放物線の方程式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

$x$軸との交点が $(-2, 0)$ と $(4, 0)$ であることから、求める放物線の方程式は、ある定数$a$を用いて

$y = a(x + 2)(x - 4)$

と表すことができます。

この式を展開すると、

$y = a(x^2 - 2x - 8)$

$y = ax^2 - 2ax - 8a$

となります。

元の放物線 $y = -x^2 + 2x + 1$ を平行移動したものであることから、$x^2$ の係数は $-1$ である必要があります。

したがって、$a = -1$ となります。

これを代入すると、

$y = -x^2 + 2x + 8$

となります。

3. 最終的な答え

したがって、求める放物線の方程式は、$y = -x^2 + 2x + 8$です。

選択肢の4が正解です。