## 問題と解答

## 問題と解答

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1. 問題の内容

いくつか数列に関する問題があります。具体的には、等差数列と等比数列の一般項、項の値、和などを求める問題です。

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2. 解き方の手順

各問題に対して解き方を説明します。

**問題1:** 等差数列の一般項と第10項を求める。

(1) 初項 $a_1 = 3$, 公差 $d = 2$ の等差数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$

第10項は $a_{10} = 2(10) + 1 = 21$

(2) 初項 $a_1 = \frac{1}{2}$, 公差 $d = -\frac{1}{2}$ の等差数列の一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{2} + (n-1)(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}n + 1$

第10項は $a_{10} = -\frac{1}{2}(10) + 1 = -4$

(3) 数列 1, 5, 9, 13,... は、初項 $a_1 = 1$, 公差 $d = 4$ の等差数列なので、一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)4 = 4n - 3$

第10項は $a_{10} = 4(10) - 3 = 37$

(4) 数列 10, 7, 4, 1,... は、初項 $a_1 = 10$, 公差 $d = -3$ の等差数列なので、一般項 $a_n$ は、

$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (n-1)(-3) = -3n + 13$

第10項は $a_{10} = -3(10) + 13 = -17$

**問題2:** 等差数列の一般項を求める。

(1) 第3項が44, 第8項が29であるとき、$a_3 = a_1 + 2d = 44$、$a_8 = a_1 + 7d = 29$。

これらの式から $5d = 29 - 44 = -15$ より $d = -3$。

$a_1 = 44 - 2d = 44 - 2(-3) = 50$。

一般項は $a_n = 50 + (n-1)(-3) = -3n + 53$

(2) 第15項が22, 第45項が112であるとき、$a_{15} = a_1 + 14d = 22$、$a_{45} = a_1 + 44d = 112$。

これらの式から $30d = 112 - 22 = 90$ より $d = 3$。

$a_1 = 22 - 14d = 22 - 14(3) = -20$。

一般項は $a_n = -20 + (n-1)(3) = 3n - 23$

(3) 公差が5, 第10項が50であるとき、$d = 5$、$a_{10} = a_1 + 9d = 50$。

$a_1 = 50 - 9d = 50 - 9(5) = 5$。

一般項は $a_n = 5 + (n-1)(5) = 5n$

(4) 初項が100, 第7項が64であるとき、$a_1 = 100$、$a_7 = a_1 + 6d = 64$。

$6d = 64 - 100 = -36$ より $d = -6$。

一般項は $a_n = 100 + (n-1)(-6) = -6n + 106$

**問題3:** 等差数列の条件から、初めて負の数となる項、-110となる項、初めて-500より小さくなる項を求める。

第10項が-20, 第20項が-50であるとき、$a_{10} = a_1 + 9d = -20$、$a_{20} = a_1 + 19d = -50$。

これらの式から $10d = -50 - (-20) = -30$ より $d = -3$。

$a_1 = -20 - 9d = -20 - 9(-3) = 7$。

一般項は $a_n = 7 + (n-1)(-3) = -3n + 10$。

(1) $a_n < 0$ となる $n$ を求める。$-3n + 10 < 0$ より $3n > 10$。$n > \frac{10}{3} = 3.33...$。

したがって、初めて負の数となるのは第4項。

(2) $a_n = -110$ となる $n$ を求める。$-3n + 10 = -110$ より $3n = 120$。$n = 40$。

したがって、-110は第40項。

(3) $a_n < -500$ となる $n$ を求める。$-3n + 10 < -500$ より $3n > 510$。$n > \frac{510}{3} = 170$。

したがって、初めて-500より小さくなるのは第171項。

**問題4:** 等差数列となるような $x$ の値を求める。

(1) 7, $x$, -5,... が等差数列であるとき、$x - 7 = -5 - x$ より $2x = 12$。$x = 6$。

(2) $\frac{1}{2}, x, \frac{1}{3}, ...$ が等差数列であるとき、$x - \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - x$ より $2x = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$。$x = \frac{5}{12}$。

**問題5:** 等差数列をなす3つの数を求める。

(1) 和が12, 2乗の和が66であるとき、3つの数を $a-d, a, a+d$ とおく。

和が12より $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 12$。したがって $a = 4$。

2乗の和が66より $(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 3a^2 + 2d^2 = 3(4^2) + 2d^2 = 48 + 2d^2 = 66$。

$2d^2 = 18$ より $d^2 = 9$。したがって $d = \pm 3$。

3つの数は 1, 4, 7。

(2) 和が15, 積が80であるとき、3つの数を $a-d, a, a+d$ とおく。

和が15より $(a-d) + a + (a+d) = 3a = 15$。したがって $a = 5$。

積が80より $(a-d)a(a+d) = a(a^2 - d^2) = 5(5^2 - d^2) = 5(25 - d^2) = 80$。

$25 - d^2 = 16$ より $d^2 = 9$。したがって $d = \pm 3$。

3つの数は 2, 5, 8。

**問題14:** 等比数列の一般項を求める。

(1) 初項 $a_1 = -2$, 第4項 $a_4 = 128$ のとき、$a_4 = a_1 r^3 = -2r^3 = 128$。

$r^3 = -64$ より $r = -4$。

一般項は $a_n = -2(-4)^{n-1}$。

(2) 第2項 $a_2 = 6$, 第5項 $a_5 = -48$ のとき、$a_5 = a_2 r^3 = 6r^3 = -48$。

$r^3 = -8$ より $r = -2$。

$a_2 = a_1 r$ より $a_1 = \frac{a_2}{r} = \frac{6}{-2} = -3$。

一般項は $a_n = -3(-2)^{n-1}$。

**問題15:** 等比数列となるような $x$ の値を求める。

(1) 4, $x$, 9,... が等比数列であるとき、$\frac{x}{4} = \frac{9}{x}$ より $x^2 = 36$。$x = \pm 6$。

(2) -10, $x$, -5,... が等比数列であるとき、$\frac{x}{-10} = \frac{-5}{x}$ より $x^2 = 50$。$x = \pm 5\sqrt{2}$。

**問題16:** 等比数列の条件から、初めて1000より大きくなる項を求める。

初項 $a_1 = 2$, 公比 $r = 3$ の等比数列 $a_n = 2(3)^{n-1}$ について、$a_n > 1000$ となる $n$ を求める。

$2(3)^{n-1} > 1000$ より $(3)^{n-1} > 500$。

$3^5 = 243$, $3^6 = 729$ であるから $n-1 = 6$ となり $n=7$ が求める答えとなる。

**問題17:** 等比数列の一般項を求める。

数列 $a_1, a_2, a_3, ...$ は等比数列であり、$a_1 + a_2 = 4$, $a_3 + a_4 = 36$ である。

$a_1 + a_1r = a_1(1+r) = 4$

$a_1r^2 + a_1r^3 = a_1r^2(1+r) = 36$

$\frac{a_1r^2(1+r)}{a_1(1+r)} = r^2 = \frac{36}{4} = 9$

$r = \pm 3$

$r = 3$ のとき、$a_1(1+3) = 4a_1 = 4$ より $a_1 = 1$。

$r = -3$ のとき、$a_1(1-3) = -2a_1 = 4$ より $a_1 = -2$。

$r = 3, a_1 = 1$ のとき、$a_n = 1(3)^{n-1} = 3^{n-1}$。

$r = -3, a_1 = -2$ のとき、$a_n = -2(-3)^{n-1}$。

**問題18:** 等差数列と等比数列の条件から、$a, b$ の値を求める。

8, $a$, $b$ がこの順に等差数列をなし、$a$, $b$, 36 がこの順に等比数列をなす。

$a - 8 = b - a$ より $2a = b + 8$。

$\frac{b}{a} = \frac{36}{b}$ より $b^2 = 36a$。

$b = 2a - 8$ を $b^2 = 36a$ に代入すると、

$(2a - 8)^2 = 36a$。

$4a^2 - 32a + 64 = 36a$。

$4a^2 - 68a + 64 = 0$。

$a^2 - 17a + 16 = 0$。

$(a - 1)(a - 16) = 0$。

$a = 1, 16$。

$a = 1$ のとき、$b = 2(1) - 8 = -6$。

$a = 16$ のとき、$b = 2(16) - 8 = 24$。

**問題19:** 等比数列の和を求める。

(1) 初項 $a_1 = 3$, 公比 $r = -2$, 項数 $n = 5$ の等比数列の和 $S$ は、

$S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{3(1 - (-2)^5)}{1 - (-2)} = \frac{3(1 - (-32))}{3} = 33$。

(2) 初項 $a_1 = 5$, 公比 $r = 1$, 項数 $n = 8$ の等比数列の和 $S$ は、

$S = a_1 + a_1 + ... + a_1 = 5 + 5 + ... + 5 = 5 \times 8 = 40$。

**問題20:** 等比数列の和を求める。

(1) 初項 $a_1 = 1$, 公比 $r = 2$, 末項 $a_n = 64$ の等比数列の和 $S$ は、

$a_n = a_1 r^{n-1}$ より $64 = 1(2)^{n-1}$。したがって $n - 1 = 6$ より $n = 7$。

$S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{1(1 - 2^7)}{1 - 2} = \frac{1 - 128}{-1} = 127$。

あるいは、

$S = \frac{ra_n - a_1}{r-1} = \frac{2(64) - 1}{2-1} = 128 - 1 = 127$。

(2) 初項 $a_1 = 162$, 公比 $r = -\frac{1}{3}$, 末項 $a_n = 2$ の等比数列の和 $S$ は、

$a_n = a_1 r^{n-1}$ より $2 = 162(-\frac{1}{3})^{n-1}$。したがって $(-\frac{1}{3})^{n-1} = \frac{1}{81} = (-\frac{1}{3})^4$ より $n - 1 = 4$ となり $n = 5$。

$S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{162(1 - (-\frac{1}{3})^5)}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{162(1 + \frac{1}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{162(\frac{244}{243})}{\frac{4}{3}} = \frac{162 \times 244 \times 3}{243 \times 4} = \frac{2 \times 244}{3} = \frac{488}{3}$。

あるいは、

$S = \frac{ra_n - a_1}{r-1} = \frac{(-\frac{1}{3})(2) - 162}{-\frac{1}{3}-1} = \frac{-\frac{2}{3} - 162}{-\frac{4}{3}} = \frac{-\frac{488}{3}}{-\frac{4}{3}} = \frac{488}{4} = 122$。

**問題21:** 等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ を求める。

(1) 初項 $a_1 = 2$, 公比 $r = 3$ の等比数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{2(1 - 3^n)}{1 - 3} = \frac{2(1 - 3^n)}{-2} = 3^n - 1$。

(2) 初項 $a_1 = 21$, 公比 $r = -2$ の等比数列の和 $S_n$ は、

$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{21(1 - (-2)^n)}{1 - (-2)} = \frac{21(1 - (-2)^n)}{3} = 7(1 - (-2)^n)$。

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3. 最終的な答え

各問題の答えは以下の通りです。

1. (1) $a_n = 2n + 1$, $a_{10} = 21$ (2) $a_n = -\frac{1}{2}n + 1$, $a_{10} = -4$ (3) $a_n = 4n - 3$, $a_{10} = 37$ (4) $a_n = -3n + 13$, $a_{10} = -17$

2. (1) $a_n = -3n + 53$ (2) $a_n = 3n - 23$ (3) $a_n = 5n$ (4) $a_n = -6n + 106$

3. (1) 4 (2) 40 (3) 171

4. (1) 6 (2) $\frac{5}{12}$

5. (1) 1, 4, 7 (2) 2, 5, 8

6. (1) $a_n = -2(-4)^{n-1}$ (2) $a_n = -3(-2)^{n-1}$

7. (1) $\pm 6$ (2) $\pm 5\sqrt{2}$

8. 7

9. (1) $3^{n-1}$ , $ -2(-3)^{n-1}$

1

0. $a=1, b=-6$ or $a=16, b=24$

1

1. (1) 33 (2) 40

1

2. (1) 127 (2) 122

1

3. (1) $3^n - 1$ (2) $7(1 - (-2)^n)$