はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

**問題1**

次の等差数列 ${a_n}$ の一般項を求め、また第10項を求めます。

(1) 初項3, 公差2

(2) 初項 $\frac{1}{2}$, 公差 $-\frac{1}{2}$

(3) 1, 5, 9, 13, ...

(4) 10, 7, 4, 1, ...

**問題2**

次の等差数列 ${a_n}$ の一般項を求めます。

(1) 第3項が44, 第8項が29

(2) 第15項が22, 第45項が112

(3) 公差が5, 第10項が50

(4) 初項が100, 第7項が64

**問題3**

第10項が-20, 第20項が-50である等差数列 ${a_n}$ があります。

(1) 初めて負の数となるのは第何項か。

(2) -110は第何項か。

(3) 初めて-500より小さくなるのは第何項か。

**問題4**

次の数列が等差数列であるとき、xの値を求めます。

(1) 7, x, -5, ...

(2) $\frac{1}{2}$, x, $\frac{1}{3}$, ...

**問題5**

等差数列をなす3つの数があります。次のとき、その3つの数を求めます。

(1) 和が12, 2乗の和が66

(2) 和が15, 積が80

**解答**

**問題1**

(1)

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 3 + (n-1)2 = 2n + 1$

第10項：$a_{10} = 2(10) + 1 = 21$

(2)

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = \frac{1}{2} + (n-1)(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{n}{2} + \frac{1}{2} = 1 - \frac{n}{2}$

第10項：$a_{10} = 1 - \frac{10}{2} = 1 - 5 = -4$

(3)

公差：$d = 5 - 1 = 4$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 1 + (n-1)4 = 4n - 3$

第10項：$a_{10} = 4(10) - 3 = 37$

(4)

公差：$d = 7 - 10 = -3$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (n-1)(-3) = -3n + 13$

第10項：$a_{10} = -3(10) + 13 = -17$

**問題2**

(1)

$a_3 = a_1 + 2d = 44$

$a_8 = a_1 + 7d = 29$

辺々引くと：$-5d = 15$ よって $d = -3$

$a_1 + 2(-3) = 44$ より $a_1 = 50$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 50 + (n-1)(-3) = -3n + 53$

(2)

$a_{15} = a_1 + 14d = 22$

$a_{45} = a_1 + 44d = 112$

辺々引くと：$-30d = -90$ よって $d = 3$

$a_1 + 14(3) = 22$ より $a_1 = -20$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = -20 + (n-1)3 = 3n - 23$

(3)

$d = 5$

$a_{10} = a_1 + 9d = 50$

$a_1 + 9(5) = 50$ より $a_1 = 5$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 5 + (n-1)5 = 5n$

(4)

$a_1 = 100$

$a_7 = a_1 + 6d = 64$

$100 + 6d = 64$ より $6d = -36$ よって $d = -6$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 100 + (n-1)(-6) = -6n + 106$

**問題3**

$a_{10} = a_1 + 9d = -20$

$a_{20} = a_1 + 19d = -50$

辺々引くと：$-10d = 30$ よって $d = -3$

$a_1 + 9(-3) = -20$ より $a_1 = 7$

一般項：$a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (n-1)(-3) = -3n + 10$

(1)

$a_n < 0$ となる $n$ を求める。

$-3n + 10 < 0$

$3n > 10$

$n > \frac{10}{3} = 3.333...$

初めて負になるのは第4項

(2)

$a_n = -110$ となる $n$ を求める。

$-3n + 10 = -110$

$-3n = -120$

$n = 40$

-110は第40項

(3)

$a_n < -500$ となる $n$ を求める。

$-3n + 10 < -500$

$-3n < -510$

$3n > 510$

$n > 170$

初めて-500より小さくなるのは第171項

**問題4**

(1)

等差数列なので、$2x = 7 + (-5)$

$2x = 2$

$x = 1$

(2)

等差数列なので、$2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

$2x = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

$x = \frac{5}{12}$

**問題5**

(1)

3つの数を $a-d, a, a+d$ とする。

和：$(a-d) + a + (a+d) = 3a = 12$ より $a = 4$

2乗の和：$(a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = (4-d)^2 + 4^2 + (4+d)^2 = 66$

$16 - 8d + d^2 + 16 + 16 + 8d + d^2 = 66$

$2d^2 + 48 = 66$

$2d^2 = 18$

$d^2 = 9$

$d = \pm 3$

$d = 3$ のとき、1, 4, 7

$d = -3$ のとき、7, 4, 1

(2)

3つの数を $a-d, a, a+d$ とする。

和：$(a-d) + a + (a+d) = 3a = 15$ より $a = 5$

積：$(a-d)a(a+d) = (5-d)5(5+d) = 80$

$(5-d)(5+d) = 16$

$25 - d^2 = 16$

$d^2 = 9$

$d = \pm 3$

$d = 3$ のとき、2, 5, 8

$d = -3$ のとき、8, 5, 2

**最終的な答え**

**問題1**

(1) 一般項: $a_n = 2n + 1$, 第10項: 21

(2) 一般項: $a_n = 1 - \frac{n}{2}$, 第10項: -4

(3) 一般項: $a_n = 4n - 3$, 第10項: 37

(4) 一般項: $a_n = -3n + 13$, 第10項: -17

**問題2**

(1) $a_n = -3n + 53$

(2) $a_n = 3n - 23$

(3) $a_n = 5n$

(4) $a_n = -6n + 106$

**問題3**

(1) 第4項

(2) 第40項

(3) 第171項

**問題4**

(1) $x = 1$

(2) $x = \frac{5}{12}$

**問題5**

(1) 1, 4, 7 または 7, 4, 1

(2) 2, 5, 8 または 8, 5, 2