与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$ (2) $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$ (3) $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$ (4) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

1. 問題の内容

与えられた4つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$

(2) $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$

(3) $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$

(4) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - 2x^2y + xy - 2y^2$

共通因数でくくります。

$x^2(x - 2y) + y(x - 2y) = (x^2 + y)(x - 2y)$

(2) $x^2 + 2xy - 3y^2 - 5x + y + 4$

$x$ について整理します。

$x^2 + (2y - 5)x + (-3y^2 + y + 4)$

後ろの項を因数分解します。

$-3y^2 + y + 4 = -(3y^2 - y - 4) = -(3y - 4)(y + 1) = (4 - 3y)(y + 1)$

たすき掛けを使って因数分解します。

$x^2 + (2y - 5)x + (4 - 3y)(y + 1) = (x + y + 1)(x - 3y + 4)$

(3) $2x^2 + 8ax + 6a^2 - x + a - 1$

$x$ について整理します。

$2x^2 + (8a - 1)x + (6a^2 + a - 1)$

後ろの項を因数分解します。

$6a^2 + a - 1 = (3a - 1)(2a + 1)$

たすき掛けを使って因数分解します。

$2x^2 + (8a - 1)x + (3a - 1)(2a + 1) = (2x + 3a - 1)(x + 2a + 1)$

(4) $(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc$

展開します。

$a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a - abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 2bc) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$= (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

$= (b+c)(a(a+b) + c(a+b))$

$= (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + y)(x - 2y)$

(2) $(x + y + 1)(x - 3y + 4)$

(3) $(2x + 3a - 1)(x + 2a + 1)$

(4) $(a+b)(b+c)(c+a)$