与えられた式 $\sqrt{14 + \sqrt{96}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を簡略化して値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{14 + \sqrt{96}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ を簡略化して値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{96}$を簡略化します。$\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$ なので、

$\sqrt{14 + \sqrt{96}} = \sqrt{14 + 4\sqrt{6}}$となります。

次に、$\sqrt{14 + 4\sqrt{6}}$を二重根号を外す形で簡略化することを考えます。$14 + 4\sqrt{6} = (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$となる$a, b$を見つけます。

$a^2 + b^2 = 14$ かつ $2ab = 4\sqrt{6}$ (したがって $ab = 2\sqrt{6}$) を満たす$a, b$を考えると、$a = 2\sqrt{2}, b = \sqrt{3}$ または $a = \sqrt{3}, b = 2\sqrt{2}$ が考えられます。

$(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 8 + 3 = 11$ となり、14と一致しません。

$14 + 4\sqrt{6} = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$なので、$a^2 + b^2 = 14$ と $ab = 2\sqrt{6}$を満たす$a, b$を探します。

$a = 2\sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ とすると、$(2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 12 + 2 = 14$であり、$(2\sqrt{3})(\sqrt{2}) = 2\sqrt{6}$ となります。したがって、

$14 + 4\sqrt{6} = (2\sqrt{3} + \sqrt{2})^2$ となります。

よって、$\sqrt{14 + 4\sqrt{6}} = \sqrt{(2\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = 2\sqrt{3} + \sqrt{2}$ となります。

次に、$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$を簡略化することを考えます。$5 - 2\sqrt{6} = (a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ となる$a, b$を見つけます。

$a^2 + b^2 = 5$ かつ $2ab = 2\sqrt{6}$ (したがって $ab = \sqrt{6}$) を満たす$a, b$を考えると、$a = \sqrt{3}, b = \sqrt{2}$ が考えられます。

$(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$ であり、 $(\sqrt{3})(\sqrt{2}) = \sqrt{6}$ となります。したがって、

$5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2$ となります。

よって、$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ となります。

したがって、$\sqrt{14 + \sqrt{96}} + \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = (2\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3\sqrt{3}$となります。

3. 最終的な答え

$3\sqrt{3}$