(8) $25x^2 - (x+2y+3z)^2$ を展開し、整理する問題。 (9) $(x+2y+3)^2 - (3x-5)^2$ を展開し、整理する問題。

1. 問題の内容

(8) $25x^2 - (x+2y+3z)^2$ を展開し、整理する問題。

(9) $(x+2y+3)^2 - (3x-5)^2$ を展開し、整理する問題。

2. 解き方の手順

(8)

まず、$25x^2$を$(5x)^2$と書き換えます。すると、式は$(5x)^2 - (x+2y+3z)^2$となります。

これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$の形をしているので、この公式を用いて展開します。

$a = 5x$、$b = x+2y+3z$とすると、

$(5x + (x+2y+3z))(5x - (x+2y+3z))$

$= (6x + 2y + 3z)(4x - 2y - 3z)$

これを展開すると、

$24x^2 - 12xy - 18xz + 8xy - 4y^2 - 6yz + 12xz - 6yz - 9z^2$

$= 24x^2 - 4xy - 6xz - 4y^2 - 12yz - 9z^2$

(9)

$(x+2y+3)^2 - (3x-5)^2$を計算します。

これも、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$の形を利用します。

$a = x+2y+3$、$b = 3x-5$とすると、

$((x+2y+3) + (3x-5))((x+2y+3) - (3x-5))$

$= (4x+2y-2)(-2x+2y+8)$

$= 2(2x+y-1) \cdot 2(-x+y+4)$

$= 4(2x+y-1)(-x+y+4)$

$= 4(-2x^2 + 2xy + 8x - xy + y^2 + 4y + x - y - 4)$

$= 4(-2x^2 + xy + 9x + y^2 + 3y - 4)$

$= -8x^2 + 4xy + 36x + 4y^2 + 12y - 16$

3. 最終的な答え

(8)

$24x^2 - 4xy - 6xz - 4y^2 - 12yz - 9z^2$

(9)

$-8x^2 + 4xy + 36x + 4y^2 + 12y - 16$