自然数が書かれたカードを、1段目には1、2段目には2, 3、3段目には3, 4, 5というように、段の数から始まり1ずつ大きくなる自然数を段の数だけ並べる。これを20段目まで行う。 (1) $n$段目の一番右に置かれたカードに書かれている自然数を$n$を使った式で表す。 (2) 25のカードが初めて置かれたのは何段目かを求める。

1. 問題の内容

自然数が書かれたカードを、1段目には1、2段目には2, 3、3段目には3, 4, 5というように、段の数から始まり1ずつ大きくなる自然数を段の数だけ並べる。これを20段目まで行う。

(1) $n$段目の一番右に置かれたカードに書かれている自然数を$n$を使った式で表す。

(2) 25のカードが初めて置かれたのは何段目かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 各段の一番右の数を見て、規則性を見つける。

1段目: 1

2段目: 3

3段目: 5

4段目: 7

この数列は、初項1、公差2の等差数列である。したがって、$n$段目の一番右の数は、

$1 + (n-1) \times 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$

(2) $n$段目に初めて25が現れる段数を求める。$n$段目の最初の数は$n$であるから、$n$段目に25が現れる条件は $n \leqq 25$ である。

$n$段目の最後の数、つまり一番右の数は$2n-1$だから、

$2n-1 \geqq 25$となる最小の$n$を求めれば良い。

$2n \geqq 26$

$n \geqq 13$

したがって、13段目から25のカードが現れる。

13段目の最初の数は13なので、25のカードが初めて現れるのは13段目である。

3. 最終的な答え

(1) $2n - 1$

(2) 13段目