18a: 5個の数字 1, 2, 3, 4, 5 から異なる4個を並べてできる数を考える。 (1) 4桁の整数は何個できるか。 (2) 4桁の偶数は何個できるか。 (3) 4桁の5の倍数は何個できるか。 18b: 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる3個を並べてできる数を考える。 (1) 3桁の整数は何個できるか。 (2) 3桁の奇数は何個できるか。 (3) 3桁の5の倍数は何個できるか。

1. 問題の内容

18a: 5個の数字 1, 2, 3, 4, 5 から異なる4個を並べてできる数を考える。

(1) 4桁の整数は何個できるか。

(2) 4桁の偶数は何個できるか。

(3) 4桁の5の倍数は何個できるか。

18b: 7個の数字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 から異なる3個を並べてできる数を考える。

(1) 3桁の整数は何個できるか。

(2) 3桁の奇数は何個できるか。

(3) 3桁の5の倍数は何個できるか。

2. 解き方の手順

18a (1) 4桁の整数

5個の数字から4個を選んで並べる順列なので、

$_{5}P_{4} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

18a (2) 4桁の偶数

一の位が偶数である必要がある。一の位は2または4の2通り。

一の位が2のとき、残りの3桁は1, 3, 4, 5から3個を選んで並べるので、$_{4}P_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$

一の位が4のとき、残りの3桁は1, 2, 3, 5から3個を選んで並べるので、$_{4}P_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$

よって、4桁の偶数は $24 + 24 = 48$ 個。

18a (3) 4桁の5の倍数

一の位が5である必要がある。

残りの3桁は1, 2, 3, 4から3個を選んで並べるので、$_{4}P_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24$

よって、4桁の5の倍数は24個。

18b (1) 3桁の整数

7個の数字から3個を選んで並べる順列なので、

$_{7}P_{3} = 7 \times 6 \times 5 = 210$

18b (2) 3桁の奇数

一の位が奇数である必要がある。一の位は1, 3, 5, 7の4通り。

一の位が奇数のとき、残りの2桁は残りの6個の数字から2個を選んで並べるので、$_{6}P_{2} = 6 \times 5 = 30$

よって、3桁の奇数は $4 \times 30 = 120$ 個。

18b (3) 3桁の5の倍数

一の位が5である必要がある。

残りの2桁は1, 2, 3, 4, 6, 7から2個を選んで並べるので、$_{6}P_{2} = 6 \times 5 = 30$

よって、3桁の5の倍数は30個。

3. 最終的な答え

18a

(1) 120個

(2) 48個

(3) 24個

18b

(1) 210個

(2) 120個

(3) 30個