自然数が書かれたカードを、ある規則に従って並べていく問題です。 (1) $n$段目の右端のカードに書かれた自然数を、$n$を使った式で表します。 (2) 25のカードが初めて置かれるのは何段目かを求めます。

1. 問題の内容

自然数が書かれたカードを、ある規則に従って並べていく問題です。

(1) $n$段目の右端のカードに書かれた自然数を、$n$を使った式で表します。

(2) 25のカードが初めて置かれるのは何段目かを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $n$段目の右端の数を求める。

1段目：1

2段目：3

3段目：5

4段目：7

と並んでいる。この数列は初項1、公差2の等差数列である。

したがって、$n$段目の右端の数は

$1 + (n-1) \times 2 = 1 + 2n - 2 = 2n - 1$

(2) 25のカードが初めて置かれる段を求める。

$n$段目の左端の数は$n$である。

$n$段目の右端の数は$2n-1$である。

したがって、$n$段目にカード$k$が置かれるための条件は、

$n \le k \le 2n-1$

である。

$k = 25$の場合、

$n \le 25 \le 2n - 1$

これを解くと、

$n \le 25$かつ$25 \le 2n - 1$

$n \le 25$かつ$26 \le 2n$

$n \le 25$かつ$13 \le n$

したがって、$13 \le n \le 25$である。

すなわち、25のカードは13段目から25段目までに置かれる。

25のカードが初めて置かれるのは、13段目である。

3. 最終的な答え

(1) $2n - 1$

(2) 13段目