問題28: 大人7人、子供5人の中から4人を選ぶ。 (1) 大人2人と子供2人を選ぶ選び方は何通りあるか。 (2) 子供が少なくとも1人含まれる選び方は何通りあるか。 問題29: 4本の平行線と、それらに交わる5本の平行線によってできる平行四辺形は何個あるか。

1. 問題の内容

問題28: 大人7人、子供5人の中から4人を選ぶ。

(1) 大人2人と子供2人を選ぶ選び方は何通りあるか。

(2) 子供が少なくとも1人含まれる選び方は何通りあるか。

問題29: 4本の平行線と、それらに交わる5本の平行線によってできる平行四辺形は何個あるか。

2. 解き方の手順

問題28 (1):

大人7人から2人を選ぶ組み合わせは $_7C_2$ 通り。子供5人から2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通り。よって、求める選び方は $_7C_2 \times _5C_2$ 通り。

$_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_7C_2 \times _5C_2 = 21 \times 10 = 210$

問題28 (2):

全体から子供が一人も含まれない場合を引くことで、子供が少なくとも1人含まれる場合を求める。

全体は、大人7人、子供5人、計12人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_{12}C_4$。

子供が一人も含まれない場合は、大人7人から4人を選ぶ組み合わせなので、$_7C_4$。

したがって、求める選び方は $_{12}C_4 - _7C_4$。

$_{12}C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$

$_7C_4 = _7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$_{12}C_4 - _7C_4 = 495 - 35 = 460$

問題29:

平行四辺形を作るには、4本の平行線から2本、5本の平行線から2本を選ぶ必要がある。

4本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは $_4C_2$ 通り。5本の平行線から2本を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通り。

したがって、できる平行四辺形の個数は $_4C_2 \times _5C_2$ 個。

$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_4C_2 \times _5C_2 = 6 \times 10 = 60$

3. 最終的な答え

問題28 (1): 210通り

問題28 (2): 460通り

問題29: 60個