自然数が書かれたカードをある規則に従って並べる。 (1) $n$段目の一番右に置かれたカードに書いてある自然数を、$n$を使った式で表す。 (2) 25のカードが初めて置かれたのは何段目かを求める。

1. 問題の内容

自然数が書かれたカードをある規則に従って並べる。

(1) $n$段目の一番右に置かれたカードに書いてある自然数を、$n$を使った式で表す。

(2) 25のカードが初めて置かれたのは何段目かを求める。

2. 解き方の手順

(1) $n$段目のカードについて考える。

1段目の一番右は1。

2段目の一番右は3。

3段目の一番右は5。

4段目の一番右は7。

よって、$n$段目の一番右は、$2n - 1 + 1 = 2n - 1 + (n - 1) = 2n - 1$ ではない。

1段目は1, 2段目は3, 3段目は5, 4段目は7...であるから、$n$段目の右端の数は $2n-1$である。

(2) $n$段目の左端の数は$n$である。$n$段目の右端の数は$2n-1$である。

もし25がn段目に初めて現れるとすると、$n \le 25 \le 2n-1$が成り立つ。

$n \le 25$より、$n$は25以下の自然数である。

$25 \le 2n-1$より、$26 \le 2n$, $13 \le n$。

したがって、$13 \le n \le 25$

$n = 13$のとき、左端の数は13、右端の数は$2 * 13 - 1 = 25$。

12段目では、左端は12、右端は$2 * 12 - 1 = 23$であるから、25は現れない。

13段目では、左端は13、右端は$2 * 13 - 1 = 25$であるから、25が初めて現れる。

3. 最終的な答え

(1) $2n-1$

(2) 13段目