与えられた複素数の式を計算し、結果を簡約化します。 式は次の通りです。 $(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)((-2+\sqrt{3})-(1+2\sqrt{3})i)$

1. 問題の内容

与えられた複素数の式を計算し、結果を簡約化します。

式は次の通りです。

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)((-2+\sqrt{3})-(1+2\sqrt{3})i)$

2. 解き方の手順

まず、後半部分の括弧を外して整理します。

$(-2+\sqrt{3})-(1+2\sqrt{3})i = -2+\sqrt{3}-i-2\sqrt{3}i = (-2+\sqrt{3}) + (-1-2\sqrt{3})i$

次に、与えられた式を計算します。

$(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)((-2+\sqrt{3})-(1+2\sqrt{3})i) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)((-2+\sqrt{3}) + (-1-2\sqrt{3})i)$

分配法則を用いて展開します。

$= \frac{1}{2}(-2+\sqrt{3}) + \frac{1}{2}(-1-2\sqrt{3})i + \frac{\sqrt{3}}{2}i(-2+\sqrt{3}) + \frac{\sqrt{3}}{2}i(-1-2\sqrt{3})i$

$= -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}-\sqrt{3})i + (-\sqrt{3}+\frac{3}{2})i + (-\frac{\sqrt{3}}{2}-3)i^2$

$i^2 = -1$ より、

$= -1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + (-\frac{1}{2}-\sqrt{3})i + (-\sqrt{3}+\frac{3}{2})i + \frac{\sqrt{3}}{2}+3$

$= (-1+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+3) + (-\frac{1}{2}-\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{3}{2})i$

$= (2+\sqrt{3}) + (1-2\sqrt{3})i$

3. 最終的な答え

$2 + \sqrt{3} + (1 - 2\sqrt{3})i$

または

$2+\sqrt{3} + (1-2\sqrt{3})i$