2次関数 $y = -(x-a)^2 + 3$ (定義域: $0 \le x \le 2$) について、最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -(x-a)^2 + 3$ (定義域: $0 \le x \le 2$) について、最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

この2次関数は、上に凸の放物線です。軸は $x = a$ です。定義域 $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めるには、軸 $x = a$ の位置によって場合分けをする必要があります。

(1) 最大値を求める場合:

* $a < 0$ のとき：定義域内で単調減少なので、$x = 0$ で最大値をとります。最大値は $y = -(0-a)^2 + 3 = -a^2 + 3$ です。

* $0 \le a \le 2$ のとき：頂点で最大値をとります。最大値は $y = -(a-a)^2 + 3 = 3$ です。

* $a > 2$ のとき：定義域内で単調増加なので、$x = 2$ で最大値をとります。最大値は $y = -(2-a)^2 + 3 = -(4 - 4a + a^2) + 3 = -a^2 + 4a - 1$ です。

(2) 最小値を求める場合：

* $a \le 1$ のとき：軸が定義域の中央より左にあるか、中央にある場合、$x=2$で最小値をとります。最小値は$y = -(2-a)^2 + 3 = -a^2 + 4a - 1$ です。

* $a > 1$ のとき：軸が定義域の中央より右にある場合、$x=0$で最小値をとります。最小値は$y = -(0-a)^2 + 3 = -a^2 + 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$a < 0$ のとき、$-a^2 + 3$

$0 \le a \le 2$ のとき、$3$

$a > 2$ のとき、$-a^2 + 4a - 1$

(2) 最小値

$a \le 1$ のとき、$-a^2 + 4a - 1$

$a > 1$ のとき、$-a^2 + 3$