$x$ と $y$ が0以上の整数であり、$n$ が自然数であるとき、不等式 $x + y \le n$ を満たす点 $(x, y)$ の個数を $n$ で表す問題です。

1. 問題の内容

$x$ と $y$ が0以上の整数であり、$n$ が自然数であるとき、不等式 $x + y \le n$ を満たす点 $(x, y)$ の個数を $n$ で表す問題です。

2. 解き方の手順

$x + y \le n$ を満たす $(x, y)$ の個数を求めます。

$x + y + z = n$ となる 0 以上の整数 $z$ を導入することで、不等式を等式に変換します。

$x$ を固定して、$y$ の範囲を考えます。

$x$ が 0 から $n$ までの値を取るとき、$y$ は $0 \le y \le n - x$ の範囲の整数値を取ります。

$y$ が取りうる値の個数は $n - x + 1$ 個です。

したがって、$(x, y)$ の個数は、以下の和で表されます。

$\sum_{x=0}^{n} (n - x + 1)$

この和を計算します。

$\sum_{x=0}^{n} (n - x + 1) = \sum_{x=0}^{n} (n + 1) - \sum_{x=0}^{n} x$

$= (n + 1) \sum_{x=0}^{n} 1 - \sum_{x=0}^{n} x$

$= (n + 1)(n + 1) - \frac{n(n + 1)}{2}$

$= (n + 1)^2 - \frac{n(n + 1)}{2}$

$= \frac{2(n + 1)^2 - n(n + 1)}{2}$

$= \frac{(n + 1)(2(n + 1) - n)}{2}$

$= \frac{(n + 1)(2n + 2 - n)}{2}$

$= \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$

$= \frac{n^2 + 3n + 2}{2}$

$= \frac{(n+1)(n+2)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{(n+1)(n+2)}{2}$