問題182の(1)(2)(3)について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (1) $x^2+4x+m=0$ が異なる2つの実数解をもつ (2) $3x^2-x+m=0$ が実数解をもたない (3) $2x^2+x-m+1=0$ が実数解をもつ

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

問題182の(1)(2)(3)について、以下の条件を満たす定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(1) $x^2+4x+m=0$ が異なる2つの実数解をもつ

(2) $3x^2-x+m=0$ が実数解をもたない

(3) $2x^2+x-m+1=0$ が実数解をもつ

2. 解き方の手順

二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D = b^2 - 4ac$ とすると、

- $D > 0$ のとき、異なる2つの実数解をもつ

- $D = 0$ のとき、重解をもつ

- $D < 0$ のとき、実数解をもたない

(1) $x^2+4x+m=0$ について、

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 16 - 4m$

異なる2つの実数解をもつので、$D > 0$ より、

$16 - 4m > 0$

$4m < 16$

$m < 4$

(2) $3x^2-x+m=0$ について、

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot m = 1 - 12m$

実数解をもたないので、$D < 0$ より、

$1 - 12m < 0$

$12m > 1$

$m > \frac{1}{12}$

(3) $2x^2+x-m+1=0$ について、

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-m+1) = 1 - 8(-m+1) = 1 + 8m - 8 = 8m - 7$

実数解をもつので、$D \geq 0$ より、

$8m - 7 \geq 0$

$8m \geq 7$

$m \geq \frac{7}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $m < 4$

(2) $m > \frac{1}{12}$

(3) $m \geq \frac{7}{8}$