与えられた4つの数式を計算する問題です。 (1) $\sqrt{27}-3\sqrt{48}+\sqrt{75}$ (2) $\sqrt{2}(7\sqrt{10}-3\sqrt{2})$ (3) $(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3})$ (4) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$

1. 問題の内容

与えられた4つの数式を計算する問題です。

(1) $\sqrt{27}-3\sqrt{48}+\sqrt{75}$

(2) $\sqrt{2}(7\sqrt{10}-3\sqrt{2})$

(3) $(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3})$

(4) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{27}-3\sqrt{48}+\sqrt{75}$

まず、それぞれの根号の中身を素因数分解し、簡単にします。

$\sqrt{27} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

したがって、

$\sqrt{27}-3\sqrt{48}+\sqrt{75} = 3\sqrt{3} - 3(4\sqrt{3}) + 5\sqrt{3} = 3\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (3-12+5)\sqrt{3} = -4\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{2}(7\sqrt{10}-3\sqrt{2})$

分配法則を使って展開します。

$\sqrt{2}(7\sqrt{10}-3\sqrt{2}) = 7\sqrt{20} - 3\sqrt{4} = 7\sqrt{2^2 \cdot 5} - 3 \cdot 2 = 7(2\sqrt{5}) - 6 = 14\sqrt{5} - 6$

(3) $(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3})$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式を利用できます。

$(\sqrt{11}+\sqrt{3})(\sqrt{11}-\sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8$

(4) $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$

これは $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用できます。

$(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 = (\sqrt{6})^2 + 2(\sqrt{6})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{4 \cdot 3} = 8 + 2(2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-4\sqrt{3}$

(2) $14\sqrt{5} - 6$

(3) $8$

(4) $8 + 4\sqrt{3}$