(1) $y$ が $x^2$ に比例するものを選択し、$y$ を $x$ の式で表す。 ア. 1辺の長さが $x$ cm の立方体の表面積を $y$ cm$^2$ とする。 イ. 半径が $x$ cm の円の周の長さを $y$ cm とする。ただし、円周率は $\pi$ とする。 (2) $y$ は $x^2$ に比例し、$x = -4$ のとき $y = -8$ である。 ① $y$ を $x$ の式で表す。 ② $x = 2$ のときの $y$ の値を求める。 (3) 次の放物線のうち、下に凸であるものをすべて答え、グラフの開き具合が最も大きいものを答える。 ① $y = 2x^2$ ② $y = -x^2$ ③ $y = \frac{1}{3}x^2$ ④ $y = -\frac{1}{2}x^2$ ⑤ $y = x^2$ ⑥ $y = -3x^2$

1. 問題の内容

(1) $y$ が $x^2$ に比例するものを選択し、$y$ を $x$ の式で表す。

ア. 1辺の長さが $x$ cm の立方体の表面積を $y$ cm$^2$ とする。

イ. 半径が $x$ cm の円の周の長さを $y$ cm とする。ただし、円周率は $\pi$ とする。

(2) $y$ は $x^2$ に比例し、$x = -4$ のとき $y = -8$ である。

① $y$ を $x$ の式で表す。

② $x = 2$ のときの $y$ の値を求める。

(3) 次の放物線のうち、下に凸であるものをすべて答え、グラフの開き具合が最も大きいものを答える。

① $y = 2x^2$

② $y = -x^2$

③ $y = \frac{1}{3}x^2$

④ $y = -\frac{1}{2}x^2$

⑤ $y = x^2$

⑥ $y = -3x^2$

2. 解き方の手順

(1)

ア. 立方体の表面積は、1つの面の面積が $x^2$ で、それが6つあるので、$y = 6x^2$ となる。これは $y$ が $x^2$ に比例する。

イ. 円の周の長さは $y = 2\pi x$ であり、$x^2$ に比例しない。

(2)

① $y$ は $x^2$ に比例するので、$y = ax^2$ と表せる。$x = -4$ のとき $y = -8$ なので、

$-8 = a(-4)^2$

$-8 = 16a$

$a = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$

したがって、$y = -\frac{1}{2}x^2$

② $x = 2$ のとき、$y = -\frac{1}{2}(2)^2 = -\frac{1}{2}(4) = -2$

(3)

下に凸であるものは、$x^2$ の係数が正のもの。

① $y = 2x^2$ (係数2)

③ $y = \frac{1}{3}x^2$ (係数1/3)

⑤ $y = x^2$ (係数1)

グラフの開き具合は、$x^2$ の係数の絶対値が大きいほど小さい。

①の係数の絶対値は2, ③の係数の絶対値は1/3, ⑤の係数の絶対値は1。

よって、開き具合が最も大きいものは①。

3. 最終的な答え

(1) ア. $y = 6x^2$

(2) ① $y = -\frac{1}{2}x^2$ ② $y = -2$

(3) 下に凸であるもの: ①, ③, ⑤ 開き具合が最も大きいもの: ①