$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k-1)(k+2)$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(k-1)(k+2)$ を展開します。

$(k-1)(k+2) = k^2 + 2k - k - 2 = k^2 + k - 2$

次に、$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 2 = 2n$

よって、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k - 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1) - 12n}{6}$

$= \frac{n}{6} [(n+1)(2n+1) + 3(n+1) - 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 + n + 2n + 1 + 3n + 3 - 12]$

$= \frac{n}{6} [2n^2 + 6n - 8]$

$= \frac{n}{6} \cdot 2(n^2 + 3n - 4)$

$= \frac{n}{3} (n^2 + 3n - 4)$

$= \frac{n}{3} (n+4)(n-1)$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n-1)(n+4)}{3}$