地上から物体を秒速50mで真上に打ち上げたとき、$t$秒後の物体の高さ$y$mは $y = -5t^2 + 50t$ で表される。打ち上げてから$t$秒後の物体の高さが、80m以上120m以下であるのは、$t$の値がどのような範囲にあるときか。

1. 問題の内容

地上から物体を秒速50mで真上に打ち上げたとき、$t$秒後の物体の高さ$y$mは $y = -5t^2 + 50t$ で表される。打ち上げてから$t$秒後の物体の高さが、80m以上120m以下であるのは、$t$の値がどのような範囲にあるときか。

2. 解き方の手順

まず、$80 \le y \le 120$ という不等式を立てます。

これは、$80 \le -5t^2 + 50t \le 120$ となります。

この不等式を2つに分けて考えます。

(1) $-5t^2 + 50t \ge 80$

$-5t^2 + 50t - 80 \ge 0$

$5t^2 - 50t + 80 \le 0$

$t^2 - 10t + 16 \le 0$

$(t - 2)(t - 8) \le 0$

したがって、$2 \le t \le 8$

(2) $-5t^2 + 50t \le 120$

$-5t^2 + 50t - 120 \le 0$

$5t^2 - 50t + 120 \ge 0$

$t^2 - 10t + 24 \ge 0$

$(t - 4)(t - 6) \ge 0$

したがって、$t \le 4$ または $t \ge 6$

(1)と(2)を同時に満たす$t$の範囲を求める。

(1)より、$2 \le t \le 8$

(2)より、$t \le 4$ または $t \ge 6$

したがって、$2 \le t \le 4$ または $6 \le t \le 8$

3. 最終的な答え

$2 \le t \le 4$ または $6 \le t \le 8$