与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算し、逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分と $(3,1)$ 成分を求めます。 行列 $A$ は次のように与えられています。 $ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$ の行列式 $|A|$ を計算し、逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分と $(3,1)$ 成分を求めます。

行列 $A$ は次のように与えられています。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 5 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $|A|$ の計算:

行列式は次のように計算できます。

$|A| = 1 \cdot (1 \cdot 5 - (-1) \cdot 1) - 2 \cdot (1 \cdot 5 - (-1) \cdot 4) + 3 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 4)$

$|A| = 1 \cdot (5 + 1) - 2 \cdot (5 + 4) + 3 \cdot (1 - 4)$

$|A| = 6 - 2 \cdot 9 + 3 \cdot (-3)$

$|A| = 6 - 18 - 9$

$|A| = -21$

(2) 逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分と $(3,1)$ 成分の計算:

逆行列の $(i, j)$ 成分は、行列 $A$ の $(j, i)$ 成分の余因子を $|A|$ で割ったものです。

まず余因子行列を計算します。

$C_{11} = (1)(5) - (-1)(1) = 5 + 1 = 6$

$C_{12} = -(1(5) - (-1)(4)) = -(5 + 4) = -9$

$C_{13} = (1)(1) - (1)(4) = 1 - 4 = -3$

$C_{21} = -(2(5) - 3(1)) = -(10 - 3) = -7$

$C_{22} = (1)(5) - (3)(4) = 5 - 12 = -7$

$C_{23} = -(1(1) - 2(4)) = -(1 - 8) = 7$

$C_{31} = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5$

$C_{32} = -(1(-1) - 3(1)) = -(-1 - 3) = 4$

$C_{33} = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1$

余因子行列は次のようになります。

$C = \begin{pmatrix} 6 & -9 & -3 \\ -7 & -7 & 7 \\ -5 & 4 & -1 \end{pmatrix}$

転置された余因子行列（随伴行列）は次のようになります。

$C^T = \begin{pmatrix} 6 & -7 & -5 \\ -9 & -7 & 4 \\ -3 & 7 & -1 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ は $|A|$ で割った随伴行列です。

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{-21} \begin{pmatrix} 6 & -7 & -5 \\ -9 & -7 & 4 \\ -3 & 7 & -1 \end{pmatrix}$

逆行列 $A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分は $\frac{4}{-21} = -\frac{4}{21}$ です。

逆行列 $A^{-1}$ の $(3,1)$ 成分は $\frac{-3}{-21} = \frac{1}{7}$ です。

3. 最終的な答え

$|A| = -21$

$A^{-1}$ の $(2,3)$ 成分は $-\frac{4}{21}$

$A^{-1}$ の $(3,1)$ 成分は $\frac{1}{7}$