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与えられた分数の式を計算し、分母を有理化します。 式は $\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5}$ です。

代数学分数の計算有理化平方根式の展開
2025/7/11

1. 問題の内容

与えられた分数の式を計算し、分母を有理化します。
式は 33+533−5\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5} です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数である 33+53\sqrt{3}+5 を分子と分母に掛けます。
33+533−5=(33+5)(33+5)(33−5)(33+5)\frac{3\sqrt{3}+5}{3\sqrt{3}-5} = \frac{(3\sqrt{3}+5)(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)}
分子を展開します。
(33+5)(33+5)=(33)2+2(33)(5)+52=9(3)+303+25=27+303+25=52+303(3\sqrt{3}+5)(3\sqrt{3}+5) = (3\sqrt{3})^2 + 2(3\sqrt{3})(5) + 5^2 = 9(3) + 30\sqrt{3} + 25 = 27 + 30\sqrt{3} + 25 = 52 + 30\sqrt{3}
分母を展開します。
(33−5)(33+5)=(33)2−52=9(3)−25=27−25=2(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5) = (3\sqrt{3})^2 - 5^2 = 9(3) - 25 = 27 - 25 = 2
したがって、
(33+5)(33+5)(33−5)(33+5)=52+3032\frac{(3\sqrt{3}+5)(3\sqrt{3}+5)}{(3\sqrt{3}-5)(3\sqrt{3}+5)} = \frac{52 + 30\sqrt{3}}{2}
約分します。
52+3032=522+3032=26+153\frac{52 + 30\sqrt{3}}{2} = \frac{52}{2} + \frac{30\sqrt{3}}{2} = 26 + 15\sqrt{3}

3. 最終的な答え

26+15326 + 15\sqrt{3}

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