正則行列 $P$ を適切に定めて、$P^{-1}AP$ をジョルダン標準形にせよ。ただし、固有値 $\lambda$ が $\mu$ であるとき、 $(A-\mu I)\vec{x} = \vec{v}$ が成り立つものとする。

1. 問題の内容

正則行列 $P$ を適切に定めて、$P^{-1}AP$ をジョルダン標準形にせよ。ただし、固有値 $\lambda$ が $\mu$ であるとき、 $(A-\mu I)\vec{x} = \vec{v}$ が成り立つものとする。

2. 解き方の手順

まず、ジョルダン標準形にするためには、行列 $A$ の固有値と固有ベクトルを求める必要があります。

問題文には「固有値 $\lambda$ が $\mu$ であるとき、 $(A-\mu I)\vec{x} = \vec{v}$」と書かれていますが、これだけでは具体的な行列 $A$ がわからないため、一般論として解き方を説明します。

1. 固有値の計算:

$A$ の固有値を求めるには、特性方程式 $\det(A - \lambda I) = 0$ を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。特性方程式を解いて得られる $\lambda$ の値が固有値となります。

$A$の固有値が$\lambda_1,\ \lambda_2, \dots, \lambda_n$であるとします。

2. 固有ベクトルの計算:

各固有値 $\lambda_i$ に対して、$(A - \lambda_i I)\vec{v_i} = \vec{0}$ を満たすベクトル $\vec{v_i}$ を求めます。この $\vec{v_i}$ が固有ベクトルです。

もし、$A$が$n$個の線形独立な固有ベクトルを持てば、$A$は対角化可能です。

もし、ある固有値 $\lambda_i$ に対して、線形独立な固有ベクトルの個数が重複度よりも少ない場合、ジョルダン標準形にする必要があります。

3. ジョルダン細胞の構成:

固有ベクトルが不足する場合、一般化固有ベクトルを求めます。例えば、$(A - \lambda_i I)^2 \vec{w} = \vec{0}$ かつ $(A - \lambda_i I) \vec{w} \neq \vec{0}$ を満たす $\vec{w}$ を求めます。これにより、ジョルダン鎖を構成できます。

ジョルダン鎖の長さに応じて、ジョルダン細胞を作成します。ジョルダン細胞は、対角成分に固有値が並び、対角成分の1つ上の成分が1、それ以外が0の行列です。

4. 正則行列 $P$ の構成:

求めた固有ベクトルと一般化固有ベクトルを並べて行列 $P$ を作ります。この $P$ が求める正則行列です。

5. ジョルダン標準形の計算:

$P^{-1}AP$ を計算します。結果はジョルダン標準形になっているはずです。ジョルダン標準形は、ジョルダン細胞が対角線上に並んだ行列です。

問題文にある条件 $(A-\mu I)\vec{x} = \vec{v}$ は、$\mu$が固有値であるとき、$\vec{v}$は一般化固有ベクトルの関係を示唆している可能性があります。

行列$A$が与えられていないため、ここまでしか説明できません。

3. 最終的な答え

具体的な行列 $A$ が与えられていないため、ジョルダン標準形も行列 $P$ も具体的に求めることはできません。

したがって、最終的な答えは「行列 $A$ の固有値、固有ベクトル、一般化固有ベクトルを求めて $P$ を構成し、$P^{-1}AP$ を計算することでジョルダン標準形が得られる」となります。