関数 $y = -|x-2| + 3$ について、以下の問いに答えます。 (1) この関数のグラフを描きます。 (2) $-1 \le x \le 3$ における値域を求めます。 (3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ について、$a \le x \le b$ における値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = -|x-2| + 3$ について、以下の問いに答えます。

(1) この関数のグラフを描きます。

(2) $-1 \le x \le 3$ における値域を求めます。

(3) $a < 2 < b$ を満たす定数 $a, b$ について、$a \le x \le b$ における値域が $2-a \le y \le b$ となるような $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) グラフの作成

絶対値記号を外すために、$x$ の範囲を $x < 2$ と $x \ge 2$ に分けて考えます。

- $x < 2$ のとき、$|x-2| = -(x-2)$ なので、$y = -(-(x-2)) + 3 = x - 2 + 3 = x + 1$

- $x \ge 2$ のとき、$|x-2| = x-2$ なので、$y = -(x-2) + 3 = -x + 2 + 3 = -x + 5$

よって、

$y = \begin{cases} x+1 & (x < 2) \\ -x+5 & (x \ge 2) \end{cases}$

このグラフは、$x=2$ を境に傾きが変化する折れ線グラフです。

$x=2$ のとき、$y = -2 + 5 = 3$ となり、頂点は $(2, 3)$ です。

(2) 値域の計算 $(-1 \le x \le 3)$

$x$ の範囲が $-1 \le x \le 3$ のときの $y$ の範囲を求めます。

- $x = -1$ のとき、$y = -1 + 1 = 0$

- $x = 2$ のとき、$y = -2 + 5 = 3$ （頂点）

- $x = 3$ のとき、$y = -3 + 5 = 2$

$x = -1$ で $y=0$, $x=2$ で $y=3$, $x=3$ で $y=2$ となるので、$-1 \le x \le 3$ における $y$ の最大値は 3 ($x=2$ のとき)、最小値は 0 ($x=-1$ のとき) となります。

したがって、値域は $0 \le y \le 3$ です。

(3) $a, b$ の計算

$a < 2 < b$ を満たす $a, b$ について、$a \le x \le b$ における値域が $2-a \le y \le b$ となる条件を求めます。

グラフの頂点は $(2, 3)$ であることを利用します。

$a < 2 < b$ なので、$x = 2$ は $a \le x \le b$ に含まれ、このとき $y = 3$ となり、これが最大値となります。したがって、$b = 3$ です。

次に、$a \le x \le b$ における最小値が $2-a$ となる必要があります。

$x < 2$ のとき $y = x+1$ で、$x \ge 2$ のとき $y = -x+5$ であり、$x$ が $2$ から離れるほど $y$ は小さくなります。

したがって、$x=a$ のとき、$y = a+1$ が最小値 $2-a$ となるはずです。

$a+1 = 2-a$ より、$2a = 1$, $a = \frac{1}{2}$

$a = \frac{1}{2} < 2 < b = 3$ は条件を満たします。

このとき、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ となり、

$2 - a = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) グラフは上記参照

(2) 値域: $0 \le y \le 3$

(3) $a = \frac{1}{2}, b = 3$