与えられた数列の和を求める問題です。 具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$ を計算します。

代数学数列等比数列級数
2025/7/11

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。
具体的には、k=1n(13)k\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k を計算します。

2. 解き方の手順

この和は、初項 a=13a = -\frac{1}{3}、公比 r=13r = -\frac{1}{3}、項数 nn の等比数列の和です。
等比数列の和の公式は次の通りです。
Sn=a(1rn)1rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}
この公式に、与えられた値を代入します。
Sn=13(1(13)n)1(13)S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}
Sn=13(1(13)n)1+13S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 + \frac{1}{3}}
Sn=13(1(13)n)43S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{4}{3}}
Sn=1334(1(13)n)S_n = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)
Sn=14(1(13)n)S_n = -\frac{1}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)
Sn=14+14(13)nS_n = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^n
Sn=14+(1)n43nS_n = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}

3. 最終的な答え

k=1n(13)k=14+(1)n43n\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}

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