与えられた数列の和を求める問題です。 具体的には、$\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k$ を計算します。代数学数列等比数列級数和2025/7/111. 問題の内容与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、∑k=1n(−13)k\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k∑k=1n(−31)k を計算します。2. 解き方の手順この和は、初項 a=−13a = -\frac{1}{3}a=−31、公比 r=−13r = -\frac{1}{3}r=−31、項数 nnn の等比数列の和です。等比数列の和の公式は次の通りです。Sn=a(1−rn)1−rS_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}Sn=1−ra(1−rn)この公式に、与えられた値を代入します。Sn=−13(1−(−13)n)1−(−13)S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)}Sn=1−(−31)−31(1−(−31)n)Sn=−13(1−(−13)n)1+13S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{1 + \frac{1}{3}}Sn=1+31−31(1−(−31)n)Sn=−13(1−(−13)n)43S_n = \frac{-\frac{1}{3} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)}{\frac{4}{3}}Sn=34−31(1−(−31)n)Sn=−13⋅34(1−(−13)n)S_n = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)Sn=−31⋅43(1−(−31)n)Sn=−14(1−(−13)n)S_n = -\frac{1}{4} \left(1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^n\right)Sn=−41(1−(−31)n)Sn=−14+14(−13)nS_n = -\frac{1}{4} + \frac{1}{4} \left(-\frac{1}{3}\right)^nSn=−41+41(−31)nSn=−14+(−1)n4⋅3nS_n = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}Sn=−41+4⋅3n(−1)n3. 最終的な答え∑k=1n(−13)k=−14+(−1)n4⋅3n\sum_{k=1}^{n} \left(-\frac{1}{3}\right)^k = -\frac{1}{4} + \frac{(-1)^n}{4 \cdot 3^n}∑k=1n(−31)k=−41+4⋅3n(−1)n