一辺が12cmの正方形ABCDにおいて、辺AB上にAE=EF=FBとなる点E,Fがあり、辺DC上に$DG = \frac{1}{2}GH = HC$となる点G,Hがある。線分FGとEHの交点をP、線分EHとBGの交点をQとする。以下の問いに答える。 (1) 線分EHの長さを求めよ。 (2) 線分PQの長さを求めよ。 (3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺が12cmの正方形ABCDにおいて、辺AB上にAE=EF=FBとなる点E,Fがあり、辺DC上に$DG = \frac{1}{2}GH = HC$となる点G,Hがある。線分FGとEHの交点をP、線分EHとBGの交点をQとする。以下の問いに答える。

(1) 線分EHの長さを求めよ。

(2) 線分PQの長さを求めよ。

(3) 四角形PFBQの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) EHの長さを求める。

$\triangle AEH$において、$AE=12/3=4$, $AH=12$。三平方の定理より

$EH^2 = AE^2 + AH^2$

$EH^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160$

$EH = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$

(2) PQの長さを求める。

まず、点EからDCに平行な線を引き、BGとの交点をIとする。

$\triangle EBI$と$\triangle CBG$は相似である。

$EB = 12 - 4 = 8$、 $BC=12$なので、相似比は$8:12 = 2:3$である。

$EI : GC = 2:3$より$EI = \frac{2}{3}GC = \frac{2}{3} \times (12/2) = 4$

$\triangle FQH \sim \triangle EIQ$より

$FQ : EQ = FH : EI$

$FH=8$より、

$FQ:EQ = 8:4 = 2:1$

次に点EからBCに平行な線を引き、BGとの交点をJとする。

$\triangle EBJ \sim \triangle CBG$より

$EJ=8$、 $EC=\sqrt{12^2+4^2}=\sqrt{144+16} = \sqrt{160}=4\sqrt{10}$

BGの式を求める。BGはB(12,0), G(4,12)を通る。

傾きは(12-0)/(4-12) = 12/-8 = -3/2

BGの式はy = -3/2(x-12) = -3/2x + 18

EHの式はy=3x。EHの式はy=(12/4)x = 3x

よって、EHとBGの交点Qは、3x=-3/2x+18、9/2x=18、x=4となる。

よってQ(4,12)となる。

FGの式：y = -3x+36

EHの式：y=3x

PはFGとEHの交点だから、3x=-3x+36、6x=36、x=6

P(6,18)

PQ=$\sqrt{(6-4)^2+(18-12)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

(3) 四角形PFBQの面積を求める。

四角形PFBQの面積は、$\triangle EFB - \triangle EPQ$

$\triangle EFB = (4*12)/2 = 24$

四角形PFBQ = $\triangle EBG - \triangle EPQ$

3. 最終的な答え

(1) $4\sqrt{10}$ cm

(2) $2\sqrt{10}$ cm

(3) 後で解きます