正の整数の列を、第$n$群に$2n-1$個の整数が入るように群に分ける。 (1) 第5群の最後の数を求める。 (2) 第6群のすべての数の和を求める。 (3) 90が第何群の何番目の数かを求める。

1. 問題の内容

正の整数の列を、第$n$群に$2n-1$個の整数が入るように群に分ける。

(1) 第5群の最後の数を求める。

(2) 第6群のすべての数の和を求める。

(3) 90が第何群の何番目の数かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 第$n$群の項数は$2n-1$である。第$n$群の最後の数は、第1群から第$n$群までの項数の和に等しい。

第1群から第$n$群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n = n^2$

したがって、第$n$群の最後の数は$n^2$である。

第5群の最後の数は、$5^2 = 25$である。

(2) 第6群の最初の数は、第5群の最後の数の次の数なので、$5^2 + 1 = 26$である。第6群の項数は$2 \cdot 6 - 1 = 11$である。

したがって、第6群は26, 27, ..., 36の11個の数からなる。

第6群のすべての数の和は、

$\sum_{k=26}^{36} k = \sum_{k=1}^{36} k - \sum_{k=1}^{25} k = \frac{36(36+1)}{2} - \frac{25(25+1)}{2} = \frac{36 \cdot 37}{2} - \frac{25 \cdot 26}{2} = 18 \cdot 37 - 25 \cdot 13 = 666 - 325 = 341$

または、等差数列の和の公式を使うと、

$\frac{\text{項数}}{2} (\text{初項} + \text{末項}) = \frac{11}{2} (26+36) = \frac{11}{2} \cdot 62 = 11 \cdot 31 = 341$

(3) 90が第$n$群にあるとすると、$(n-1)^2 < 90 \le n^2$が成り立つ。

$n^2$の値を見ていくと、$8^2 = 64 < 90$、$9^2 = 81 < 90$、$10^2 = 100 > 90$となるので、$n=10$である。

したがって、90は第10群にある。

第9群の最後の数は$9^2 = 81$なので、第10群の最初の数は82である。

第10群の$k$番目の数は、$81 + k$となるので、90は$81 + k = 90$より、$k = 9$番目である。

3. 最終的な答え

(1) 25

(2) 341

(3) 第10群の9番目