問題は$\tan 15^\circ$の値を求めることです。

1. 問題の内容

問題は$\tan 15^\circ$の値を求めることです。

2. 解き方の手順

$\tan 15^\circ$を求めるために、まず、$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$を利用します。

$\tan$の加法定理を用いると、以下のようになります。

$\tan (A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$

ここで、$A = 45^\circ$, $B = 30^\circ$とすると、

$\tan 15^\circ = \tan (45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}$

$\tan 45^\circ = 1$、$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}$であるから、

$\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$

分母と分子に$\sqrt{3}$を掛けると、

$\tan 15^\circ = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

さらに、分母を有理化するために、分母と分子に$\sqrt{3} - 1$を掛けます。

$\tan 15^\circ = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$2 - \sqrt{3}$