与えられた図において、BC, DE, FGが平行であるとき、xとyの値を求めよ。図は6つ与えられている。

1. 問題の内容

与えられた図において、BC, DE, FGが平行であるとき、xとyの値を求めよ。図は6つ与えられている。

2. 解き方の手順

(1) 図において、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似である。したがって、以下の比例式が成り立つ。

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$

$\frac{6}{6+y} = \frac{4}{5}$

$30 = 24 + 4y$

$4y = 6$

$y = \frac{3}{2} = 1.5$

$\frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

$\frac{6}{6+x} = \frac{4}{5}$

$30 = 24 + 4x$

$4x = 6$

$x = \frac{3}{2} = 1.5$

(2) 図において、$\triangle BDE$と$\triangle BAC$は相似である。したがって、以下の比例式が成り立つ。

$\frac{BD}{BA} = \frac{DE}{AC}$

$\frac{1.8}{1.8+4.8} = \frac{x}{2.4}$

$\frac{1.8}{6.6} = \frac{x}{2.4}$

$x = \frac{1.8 \times 2.4}{6.6} = \frac{4.32}{6.6} = \frac{432}{660} = \frac{36}{55}$

$\frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC}$

$\frac{4}{4+y} = \frac{x}{2.4}$

$\frac{4}{4+y} = \frac{36/55}{2.4} = \frac{36}{55 \times 2.4} = \frac{36}{132} = \frac{3}{11}$

$44 = 12 + 3y$

$3y = 32$

$y = \frac{32}{3}$

(3) 図において、2つの三角形は相似である。したがって、以下の比例式が成り立つ。

$\frac{6}{9} = \frac{6.4}{y}$

$6y = 9 \times 6.4$

$y = \frac{9 \times 6.4}{6} = \frac{3 \times 6.4}{2} = \frac{19.2}{2} = 9.6$

$\frac{6}{9} = \frac{x}{6}$

$36 = 9x$

$x = 4$

(4) 図において、$\triangle ADE$と$\triangle ABC$は相似である。また、$\triangle ADF$と$\triangle ABG$は相似である。したがって、以下の比例式が成り立つ。

$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$

$\frac{1.8}{1.8+y} = \frac{x}{5}$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AG}$

$\frac{1.8}{1.8+y} = \frac{3}{4}$

$1.8 \times 4 = 3(1.8+y)$

$7.2 = 5.4 + 3y$

$1.8 = 3y$

$y = \frac{1.8}{3} = 0.6$

$\frac{1.8}{1.8+0.6} = \frac{x}{5}$

$\frac{1.8}{2.4} = \frac{x}{5}$

$x = \frac{1.8 \times 5}{2.4} = \frac{9}{2.4} = \frac{90}{24} = \frac{15}{4} = 3.75$

(5) 図において、$\triangle ADF$と$\triangle ACE$は相似である。また、$\triangle ADF$と$\triangle ABG$は相似である。したがって、以下の比例式が成り立つ。

$\frac{AD}{AE} = \frac{AF}{AC}$

$\frac{x}{x+9} = \frac{2.5}{2.5+15}$

$\frac{x}{x+9} = \frac{2.5}{17.5} = \frac{1}{7}$

$7x = x+9$

$6x = 9$

$x = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5$

$\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AG}$

$\frac{1.5}{5} = \frac{2.5}{y}$

$1.5y = 5 \times 2.5 = 12.5$

$y = \frac{12.5}{1.5} = \frac{125}{15} = \frac{25}{3}$

(6) 図において、$\triangle AED$と$\triangle ABC$は相似である。また、$\triangle AED$と$\triangle AFG$は相似である。したがって、以下の比例式が成り立つ。

$\frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB}$

$\frac{4}{4+10} = \frac{6}{6+x}$

$\frac{4}{14} = \frac{6}{6+x}$

$4(6+x) = 6 \times 14 = 84$

$24 + 4x = 84$

$4x = 60$

$x = 15$

$\frac{AE}{AF} = \frac{AD}{AG}$

$\frac{4}{4+18} = \frac{6}{6+y}$

$\frac{4}{22} = \frac{6}{6+y}$

$4(6+y) = 6 \times 22 = 132$

$24+4y = 132$

$4y = 108$

$y = 27$

3. 最終的な答え

(1) $x = 1.5$, $y = 1.5$

(2) $x = \frac{36}{55}$, $y = \frac{32}{3}$

(3) $x = 4$, $y = 9.6$

(4) $x = 3.75$, $y = 0.6$

(5) $x = 1.5$, $y = \frac{25}{3}$

(6) $x = 15$, $y = 27$