2つのベクトル $\vec{a} = (1, -3, 2)$ と $\vec{b} = (-2, 1, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

1. 問題の内容

2つのベクトル $\vec{a} = (1, -3, 2)$ と $\vec{b} = (-2, 1, -4)$ の両方に垂直な単位ベクトルを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトルを求める。これは、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ を計算することで得られる。

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(-4) - (2)(1) \\ (2)(-2) - (1)(-4) \\ (1)(1) - (-3)(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 - 2 \\ -4 + 4 \\ 1 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix}$$

(2) $\vec{a} \times \vec{b}$ の大きさを計算する。

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{10^2 + 0^2 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 0 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$

(3) 単位ベクトルを求める。$\vec{a} \times \vec{b}$ をその大きさで割る。

$$\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \frac{1}{5\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{10}{5\sqrt{5}} \\ \frac{0}{5\sqrt{5}} \\ \frac{-5}{5\sqrt{5}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{-1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$$

(4) もう一つの単位ベクトルは、上記のベクトルの逆向きのベクトルである。

$$-\frac{\vec{a} \times \vec{b}}{|\vec{a} \times \vec{b}|} = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix}$$

(5) 分母を有理化する。

$$\begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{5}}{5} \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ 0 \\ \frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}$$

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} \frac{2\sqrt{5}}{5} \\ 0 \\ -\frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -\frac{2\sqrt{5}}{5} \\ 0 \\ \frac{\sqrt{5}}{5} \end{pmatrix}$