問題11について、以下の問いに答えます。 (1) 線分PTの長さを求めよ。 (2) 円Oの半径を求めよ。 (3) 三角形POCの面積を求めよ。 ただし、点Oは円の中心、線分PTは円の接線であり、PA = 8, PB = 10, PC = 16である。

1. 問題の内容

問題11について、以下の問いに答えます。

(1) 線分PTの長さを求めよ。

(2) 円Oの半径を求めよ。

(3) 三角形POCの面積を求めよ。

ただし、点Oは円の中心、線分PTは円の接線であり、PA = 8, PB = 10, PC = 16である。

2. 解き方の手順

(1) 線分PTの長さを求める。

方べきの定理より、$PT^2 = PA \cdot PD$が成り立つ。

ここで、$PD = PB + BD = PB + BC$である。$BC=PC-PB = 16-10=6$だから、$PD = 10+6=16$となる。

よって、$PT^2 = 8 \cdot 16 = 128$。

したがって、$PT = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$。

(2) 円Oの半径を求める。

円の中心Oから接点Tに引いた半径OTは接線PTと垂直である。よって、三角形PTOは直角三角形である。

$OA = OB = r$とすると、$PO = PA + AO = 8 + r$となる。また、$PC = PB + BC = 10+6=16$だから、$PD = PC+CD = 16 + 2r$となる。

方べきの定理より、$PA \cdot PD = PT^2$だから、$8(PC+CD) = 8(16+2r)=128$となる。

ゆえに、$16+2r=16$だから、$2r = 0$となるが、これはあり得ないので、計算ミスがある。

円の半径を$r$とする。方べきの定理より、$PA * PD = PT^2$, $PB * PC = PT^2$が成り立つ。$PA=8$, $PB=10$, $PC=16$が与えられている。

$PD = PA+AD = 8 + 2r$

$PC = PB+BC = 16$

$PT^2 = PA * PD = PB * PC$

$8(8+2r) = 10 * 16$

$64+16r = 160$

$16r = 96$

$r=6$

(3) 三角形POCの面積を求める。

$PO = PB + BO = 10+6=16$

$OC = 6$

三角形POCにおいて、PO = 16, OC = 6, PC = 16である。

ヘロンの公式を用いる。

$s = (16 + 6 + 16)/2 = 19$

$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{19(19-16)(19-6)(19-16)} = \sqrt{19 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 3} = \sqrt{2223} = 3 \sqrt{247}$

3. 最終的な答え

(1) $PT = 8\sqrt{2}$

(2) $r=6$

(3) $\triangle POC = 3\sqrt{247}$