複素数平面上で、方程式 $\frac{z-1}{z+1} = |\frac{z-1}{z+1}| i$ を満たす点 $z$ 全体が表す図形を求め、その図形を複素数平面上に図示する。ここで、$i$ は虚数単位であり、$|w|$ は複素数 $w$ の絶対値を表す。

1. 問題の内容

複素数平面上で、方程式 $\frac{z-1}{z+1} = |\frac{z-1}{z+1}| i$ を満たす点 $z$ 全体が表す図形を求め、その図形を複素数平面上に図示する。ここで、$i$ は虚数単位であり、$|w|$ は複素数 $w$ の絶対値を表す。

2. 解き方の手順

まず、$w = \frac{z-1}{z+1}$ とおく。すると与えられた式は $w = |w|i$ となる。

$w$ を実部と虚部に分けて $w = x + yi$ ($x, y$ は実数) と表すと、この式は $x + yi = \sqrt{x^2 + y^2} i$ と書ける。

この式から、$x = 0$ かつ $y = \sqrt{x^2 + y^2}$ が成り立つ。

$x = 0$ を代入すると、$y = \sqrt{0^2 + y^2} = |y|$ となるので、$y \ge 0$ である。

つまり、$w$ は純虚数で、かつ虚部が非負である。

したがって、$w = \frac{z-1}{z+1} = yi$ （$y \ge 0$）とおける。

この式を $z$ について解く。

$z-1 = yi(z+1)$

$z - 1 = yiz + yi$

$z - yiz = yi + 1$

$z(1 - yi) = 1 + yi$

$z = \frac{1+yi}{1-yi}$

この式を実部と虚部に分けるために、分母の共役複素数を分母分子にかける。

$z = \frac{(1+yi)(1+yi)}{(1-yi)(1+yi)} = \frac{1 + 2yi - y^2}{1 + y^2} = \frac{1-y^2}{1+y^2} + \frac{2y}{1+y^2}i$

$z = x' + y'i$ とおくと、$x' = \frac{1-y^2}{1+y^2}$, $y' = \frac{2y}{1+y^2}$ である。

$y \ge 0$ であることに注意する。

$y = 0$ のとき、$z = 1$

$y > 0$ のとき、

$x'^2 + (y'-1)^2 = (\frac{1-y^2}{1+y^2})^2 + (\frac{2y}{1+y^2} - 1)^2 = (\frac{1-y^2}{1+y^2})^2 + (\frac{2y - 1 - y^2}{1+y^2})^2$

$= \frac{(1-y^2)^2 + (-1+y)^2y(1+y)^2 - (1-y)^2}{ (1+y^2)^2}= \frac{(1-y^2)^2 + (y^2 -1)^2}{(1+y^2)^2}$

$= \frac{1 -2y^2+y^4 +4y^2 - 4y + 1 + y^4 + 1-2y^2+y^4 - 2y + 4}{1-2y^2+y^4}=1$

$x'^2 + (y'-1)^2 = (\frac{1-y^2}{1+y^2})^2 + (\frac{2y - (1+y^2)}{1+y^2})^2 = \frac{(1-y^2)^2 + (y^2-1)^2}{(1+y^2)^2} = \frac{2(1-y^2)^2}{(1+y^2)^2}$

$x'^2 + y'^2 = 1$ を示す。$x' = \frac{1-y^2}{1+y^2}, y' = \frac{2y}{1+y^2}$

$x'^2 + y'^2 = (\frac{1-y^2}{1+y^2})^2 + (\frac{2y}{1+y^2})^2 = \frac{1-2y^2+y^4 + 4y^2}{(1+y^2)^2} = \frac{1+2y^2+y^4}{(1+y^2)^2} = \frac{(1+y^2)^2}{(1+y^2)^2} = 1$

よって、$z$ は原点中心、半径1の円周上にある。

$y \ge 0$ なので、$y' = \frac{2y}{1+y^2} \ge 0$。つまり、$z$ は上半平面にある。

$z=1$ のとき、$y = 0$ である。

3. 最終的な答え

求める図形は、原点中心、半径1の円の上半部分。ただし、$z = 1$ を含む。