正方形ABCDにおいて、辺DCの中点をE、線分EBの中点をFとする。辺AD上に点Gがあり、$\angle GAF = \angle GFE$ である。線分EB上に点Hがあり、$\angle GHE = 90^\circ$ である。AB=4cmのとき、線分EFの長さを求め、さらに線分HFの長さが線分EBの長さの何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、辺DCの中点をE、線分EBの中点をFとする。辺AD上に点Gがあり、$\angle GAF = \angle GFE$ である。線分EB上に点Hがあり、$\angle GHE = 90^\circ$ である。AB=4cmのとき、線分EFの長さを求め、さらに線分HFの長さが線分EBの長さの何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分EFの長さを求める。

正方形ABCDの一辺の長さは4cmなので、DE = EC = 2cm である。

直角三角形EBCにおいて、三平方の定理より、

$EB = \sqrt{BC^2 + EC^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm。

FはEBの中点なので、$EF = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$ cm。

(2) 線分HFの長さを線分EBの長さで表す。

$\angle GAF = \angle GFE$ より、$\triangle AGF$は二等辺三角形であり、$AG = GF$。

$\angle GHE = 90^\circ$ なので、$\triangle GHE$は直角三角形。

また、FはEBの中点なので、$EF = FB$。

ここで、$\triangle GAF$と$\triangle GFE$において、$AG=GF, AF=FE, \angle GAF = \angle GFE$であり、この条件だけでは$\triangle GAF \equiv \triangle GFE$とは言えません。

線分EBの傾きは、E(2,4), B(0,0)とすると $\frac{4-0}{2-0}=2$である。線分EBの方程式は$y = 2x$。

直線GHはEBと垂直であるから、GHの傾きは$-\frac{1}{2}$。

Eを通り、傾き$-\frac{1}{2}$の直線の方程式は $y-4=-\frac{1}{2}(x-2)$であり、$y=-\frac{1}{2}x+5$。

HはEB上にあるので、H(x, 2x)とおける。また、Hは直線GH上にあるので、$2x = -\frac{1}{2}x + 5$。

$\frac{5}{2}x = 5$ より、$x = 2$。したがって、H(2,4)であり、HはEと一致する。これは$\angle GHE=90^\circ$であることから妥当。

HがEと一致するので、HF = EF = $\sqrt{5}$。

EB = $2\sqrt{5}$ なので、HF = $\frac{1}{2}$EB。

3. 最終的な答え

(1) 線分EFの長さは $\sqrt{5}$ cm。

(2) 線分HFの長さは線分EBの長さの $\frac{1}{2}$ 倍である。