問題は三角比に関する4つの小問から構成されています。 [1] 直角三角形の図から、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求める。 [2] $\cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$ の値を求める。ただし、$\theta$は鈍角である。 [3] $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と (2) $\tan\theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求める。 [4] $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

1. 問題の内容

問題は三角比に関する4つの小問から構成されています。

[1] 直角三角形の図から、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の値を求める。

[2] $\cos\theta = -\frac{3}{4}$のとき、$\sin\theta$と$\tan\theta$ の値を求める。ただし、$\theta$は鈍角である。

[3] $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ のとき、(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ と (2) $\tan\theta = -1$ を満たす $\theta$ の値を求める。

[4] $\sin 115^\circ$ を鋭角の三角比で表す。

2. 解き方の手順

[1]

直角三角形において、$AB = 1$, $BC = \sqrt{2}$ である。

三平方の定理より、$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1+2} = \sqrt{3}$.

$\sin\theta = \frac{AB}{AC} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\theta = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan\theta = \frac{AB}{BC} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

[2]

$\cos\theta = -\frac{3}{4}$ であり、$\theta$ は鈍角なので、$\sin\theta > 0$。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (-\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$

$\sin\theta = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{-\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は $60^\circ$ と $120^\circ$。

(2) $\tan\theta = -1$

$0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ の範囲で、$\tan\theta = -1$ となる $\theta$ は $135^\circ$。

[4]

$\sin(180^\circ - x) = \sin x$ より、

$\sin 115^\circ = \sin (180^\circ - 115^\circ) = \sin 65^\circ$

3. 最終的な答え

[1]

$\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

[2]

$\sin\theta = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\tan\theta = -\frac{\sqrt{7}}{3}$

[3]

(1) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(2) $\theta = 135^\circ$

[4]

$\sin 115^\circ = \sin 65^\circ$