ABを直径とする半円O上に点Cがあり、$CA=CB$ である。弧CB上に点Dがあり、$DA:DB=3:1$ である。線分CBとDAの交点をEとする。$CA=6cm$のとき、以下の問いに答える。 (1) $\triangle DAB$ の面積を求める。 (2) $\triangle EAB$ を、線分ABを回転の軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

ABを直径とする半円O上に点Cがあり、$CA=CB$ である。弧CB上に点Dがあり、$DA:DB=3:1$ である。線分CBとDAの交点をEとする。$CA=6cm$のとき、以下の問いに答える。

(1) $\triangle DAB$ の面積を求める。

(2) $\triangle EAB$ を、線分ABを回転の軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle DAB$ の面積を求める。

$CA=CB=6$ より、$\triangle CAB$ は直角二等辺三角形である。よって、$AB = 6\sqrt{2}$ となる。

$DA:DB = 3:1$ より、$\angle DBA = \theta$ とすると、$\angle DAB = 180^{\circ} - \theta - \angle ADB$

弧に対する円周角の定理より、$\angle ACB = \angle ADB = 90^\circ$なので、$\angle DAB = 180^\circ - \theta - 90^\circ = 90^\circ - \theta$

正弦定理より、

$\frac{DA}{\sin \theta} = \frac{DB}{\sin(90^\circ - \theta)} = \frac{DB}{\cos \theta}$

$DA:DB = 3:1$ より、$DA = 3DB$

$\frac{3DB}{\sin \theta} = \frac{DB}{\cos \theta}$

$3\cos \theta = \sin \theta$

$\tan \theta = 3$

$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{10}}, \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{10}}$

$\triangle DAB$ の面積は、

$\frac{1}{2}DA\cdot DB\sin 90^\circ = \frac{1}{2} DA\cdot DB = \frac{1}{2} (3DB) DB = \frac{3}{2}DB^2$

$\frac{AB}{\sin 90^\circ} = \frac{DB}{\sin (90^\circ - \theta)} = \frac{DB}{\cos \theta}$

$6\sqrt{2} = \frac{DB}{1/\sqrt{10}}$

$DB = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$

$\frac{3}{2}DB^2 = \frac{3}{2} \times \frac{36}{5} = \frac{54}{5}$

(2) $\triangle EAB$ を、線分ABを回転の軸として1回転させてできる立体の体積を求める。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{54}{5} cm^2$

(2) 計算中