正方形ABCDがあり、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点で、$\angle GAF = \angle GFE$である。また、Hは線分EB上の点で、$\angle GHE = 90^\circ$である。AB=4cmのとき、線分EFの長さを求め、線分HFの長さが線分EBの長さの何倍であるかを求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点で、$\angle GAF = \angle GFE$である。また、Hは線分EB上の点で、$\angle GHE = 90^\circ$である。AB=4cmのとき、線分EFの長さを求め、線分HFの長さが線分EBの長さの何倍であるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分EFの長さを求める。

まず、座標を設定する。A(0,4), B(4,4), C(4,0), D(0,0), E(2,0)とする。

このとき、線分EBの長さは、

$EB = \sqrt{(4-2)^2+(4-0)^2} = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Fは線分EBの中点なので、

$F = (\frac{4+2}{2}, \frac{4+0}{2}) = (3,2)$

したがって、線分EFの長さは、

$EF = \sqrt{(3-2)^2+(2-0)^2} = \sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

(2) 線分HFの長さを線分EBの長さで割った値を求める。

$\angle GAF = \angle GFE$ であるので、$\triangle AGF$ は二等辺三角形である。

また、$\angle GHE = 90^\circ$ である。

E(2,0), B(4,4) であり、直線EBの式は $y = 2x-4$ である。

ここで、$\triangle GHE \sim \triangle BFE$ であることを利用する。

$EF = \sqrt{5}$

$EB = 2\sqrt{5}$

$\frac{EF}{EB} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$

$\triangle BFE$ について、$BF = EF = \sqrt{5}$

$G$ は線分AD上の点であり、$AG = GF$

$GH \perp BE$

$\triangle GHE \sim \triangle BFE$ より、

$\frac{HF}{EF} = \frac{HE}{GE}$

線分HFの長さを求める。

$\angle GHE = 90^\circ$なので、$\triangle GHE$は直角三角形である。

$\frac{HF}{EB} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 線分EFの長さは $\sqrt{5}$ cmである。

(2) 線分HFの長さは線分EBの長さの $\frac{1}{5}$ 倍である。