正方形ABCDにおいて、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点で∠GAF=∠GFEを満たす。Hは線分EB上の点で、∠GHE=90°である。AB=4cmのとき、線分EFの長さと線分HFの長さが線分EBの長さの何倍かを求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDにおいて、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点で∠GAF=∠GFEを満たす。Hは線分EB上の点で、∠GHE=90°である。AB=4cmのとき、線分EFの長さと線分HFの長さが線分EBの長さの何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分EFの長さを求める。

まず、正方形の一辺の長さが4cmなので、DC = BC = 4cm。EはDCの中点なので、EC = DE = 2cm。

直角三角形EBCにおいて、三平方の定理より

$EB^2 = BC^2 + EC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

よって、$EB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ cm。

FはEBの中点なので、$EF = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$ cm。

(2) 線分HFの長さが線分EBの長さの何倍かを求める。

三角形GAFと三角形GFEにおいて、∠GAF=∠GFE, AF=EFである。三角形GAFと三角形GFEは相似である。

ここで、仮定より∠GHE = 90度であるので、三角形GEHは直角三角形である。

線分EH=xとすると,三平方の定理より,$GE^2=GH^2 + EH^2$。

三角形GEBにおいて、∠GEBは鋭角である。

また、三角形GEBと三角形HEGは相似である。

三角形EBCにおいて, $EB = \sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$である。

FはEBの中点なので,$EF = FB = \sqrt{5}$である。

線分HFの長さをyとする。

$y=FB-HB = \sqrt{5}-HB$。

また、$EB=EH+HB = x+HB = 2\sqrt{5}$なので,$HB = 2\sqrt{5}-x$

したがって、$y = \sqrt{5} - (2\sqrt{5} -x) = x-\sqrt{5}$.

$\frac{HF}{EB} = \frac{1}{5}$である。

$HF = \frac{1}{5} EB$なので, HFの長さはEBの長さの$\frac{1}{5}$倍

3. 最終的な答え

(1) 線分EFの長さは$\sqrt{5}$ cm。

(2) 線分HFの長さは線分EBの長さの$\frac{1}{5}$倍。