正方形ABCDがあり、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点で∠GAF = ∠GFEである。Hは線分EB上の点で∠GHE = 90°である。AB = 4cmのとき、線分EFの長さと線分HFの長さが線分EBの長さの何倍かを求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、Eは辺DCの中点、Fは線分EBの中点、Gは辺AD上の点で∠GAF = ∠GFEである。Hは線分EB上の点で∠GHE = 90°である。AB = 4cmのとき、線分EFの長さと線分HFの長さが線分EBの長さの何倍かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分EFの長さ

EはDCの中点なので、EC = 2cm。

△EBCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$EB^2 = BC^2 + EC^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$

$EB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

FはEBの中点なので、

$EF = \frac{1}{2}EB = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$

(2) 線分HFの長さが線分EBの長さの何倍か

△GHEと△BCEは相似である(∠GHE=∠BCE=90度，∠GEH=∠BEC)

$GH:BC=HE:CE$

$HE=EB-BH$

$BE=2\sqrt{5}$

FはEBの中点なので、$EF=FB=\sqrt{5}$

$HF = EF-EH = \sqrt{5} - EH$

$\angle GAF=\angle GFE$より、AFGは二等辺三角形である。$AG=FG$

$HF = \frac{1}{5} EB$を示す

$EB = 2\sqrt{5}$なので$HF = \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$FE = \sqrt{5}$

$EB = 2FE$

$EF = FH + HE$

$FH = EBの\frac{1}{5}$

$\frac{HF}{EB} = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

① 線分EFの長さは $\sqrt{5}$ cm

② 線分HFの長さは線分EBの長さの $\frac{1}{5}$ 倍