2直線 $y = -x + 6$ (①) と $y = 2x$ (②) がある。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をBとする。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線②、x軸との交点をそれぞれQ、Rとする。 (1) AとBの座標をそれぞれ求めよ。 (2) Rのx座標が3のとき、三角形APQの面積を求めよ。 (3) 三角形APQの面積が$\frac{27}{2}$のとき、Rのx座標を求めよ。 (4) 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求めよ。

1. 問題の内容

2直線 $y = -x + 6$ (①) と $y = 2x$ (②) がある。直線①と②の交点をA、直線①とx軸の交点をBとする。線分AB上に点Pをとり、Pを通りy軸に平行な直線と直線②、x軸との交点をそれぞれQ、Rとする。

(1) AとBの座標をそれぞれ求めよ。

(2) Rのx座標が3のとき、三角形APQの面積を求めよ。

(3) 三角形APQの面積が$\frac{27}{2}$のとき、Rのx座標を求めよ。

(4) 三角形APQの面積が15のとき、Rのx座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* Aの座標は、直線①と直線②の交点なので、連立方程式を解く。

$-x + 6 = 2x$

$3x = 6$

$x = 2$

$y = 2x = 2(2) = 4$

よって、A(2, 4)

* Bの座標は、直線①とx軸の交点なので、y = 0を代入する。

$0 = -x + 6$

$x = 6$

よって、B(6, 0)

(2)

* Rのx座標が3なので、R(3, 0)。

* Pは線分AB上にあるので、直線ABの式を求める。

直線ABは、A(2, 4)とB(6, 0)を通る。傾きは$\frac{0-4}{6-2} = \frac{-4}{4} = -1$。

よって、直線ABの式は$y = -x + b$。B(6, 0)を代入すると、$0 = -6 + b$より、$b = 6$。

したがって、直線ABの式は$y = -x + 6$。

* Pのx座標はRと同じなので、x = 3を直線ABの式に代入すると、$y = -3 + 6 = 3$。

よって、P(3, 3)。

* Qのx座標はPと同じなので、x = 3を直線②の式に代入すると、$y = 2(3) = 6$。

よって、Q(3, 6)。

* 三角形APQの面積は、底辺PQを$6 - 3 = 3$、高さをPとAのx座標の差$3 - 2 = 1$と考えると、

$\frac{1}{2} \times 3 \times 1 = \frac{3}{2}$

(3)

* Rのx座標をrとすると、R(r, 0)。

* Pは線分AB上にあるので、P(r, -r + 6)。

* Qは直線②上にあるので、Q(r, 2r)。

* 三角形APQの面積は$\frac{27}{2}$なので、

$\frac{1}{2} \times |2r - (-r + 6)| \times |r - 2| = \frac{27}{2}$

$|3r - 6| \times |r - 2| = 27$

$3|r - 2| \times |r - 2| = 27$

$|r - 2|^2 = 9$

$(r - 2)^2 = 9$

$r - 2 = \pm 3$

$r = 2 \pm 3$

$r = 5$ または $r = -1$

Rのx座標は5または-1。

(4)

* Rのx座標をrとすると、R(r, 0)。

* Pは線分AB上にあるので、P(r, -r + 6)。

* Qは直線②上にあるので、Q(r, 2r)。

* 三角形APQの面積は15なので、

$\frac{1}{2} \times |2r - (-r + 6)| \times |r - 2| = 15$

$|3r - 6| \times |r - 2| = 30$

$3|r - 2| \times |r - 2| = 30$

$|r - 2|^2 = 10$

$(r - 2)^2 = 10$

$r - 2 = \pm \sqrt{10}$

$r = 2 \pm \sqrt{10}$

Rのx座標は$2 + \sqrt{10}$または$2 - \sqrt{10}$。

3. 最終的な答え

(1) A(2, 4), B(6, 0)

(2) $\frac{3}{2}$

(3) 5, -1

(4) $2 + \sqrt{10}$, $2 - \sqrt{10}$