直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAからAC上を、点QはBからBC上を同じ速さで移動する。APQBの面積が40cm^2になるとき、点PがAから何cm動いたかを求める。ただし、AB=BC=12cmとする。

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCにおいて、点PはAからAC上を、点QはBからBC上を同じ速さで移動する。APQBの面積が40cm^2になるとき、点PがAから何cm動いたかを求める。ただし、AB=BC=12cmとする。

2. 解き方の手順

点PがAからx cm動いたとすると、AP = x cm、BQ = x cmとなる。

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 12 \times 12 = 72$ cm$^2$である。

三角形APCの面積は、$\frac{1}{2} \times (12-x) \times (12-x) = \frac{1}{2}(12-x)^2$ cm$^2$である。

台形APQBの面積は、三角形ABCの面積から三角形PQCの面積を引いたものであるから、$72 - \frac{1}{2}(12-x)^2 = 40$となる。

この方程式を解くと、$72 - \frac{1}{2}(144 - 24x + x^2) = 40$

$144 - (144 - 24x + x^2) = 80$

$144 - 144 + 24x - x^2 = 80$

$24x - x^2 = 80$

$x^2 - 24x + 80 = 0$

$(x-4)(x-20) = 0$

x=4またはx=20

xは12より小さいので、x=4となる。

3. 最終的な答え

4 cm