正方形ABCDがあり、一辺の長さは10cmである。点PはCを出発してCB上をBまで動き、点QはDを出発してDC上をCまで動く。点Pと点Qは同時に出発し、同じ速さで動く。三角形APQの面積が42cm²になるのは、点PがCから何cm動いたときか。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、一辺の長さは10cmである。点PはCを出発してCB上をBまで動き、点QはDを出発してDC上をCまで動く。点Pと点Qは同時に出発し、同じ速さで動く。三角形APQの面積が42cm²になるのは、点PがCから何cm動いたときか。

2. 解き方の手順

点PがCからx cm動いたとする。すると、点QもDからx cm動く。

線分CPの長さはx cm、線分DQの長さはx cmとなる。

線分BPの長さは(10-x) cm、線分CQの長さは(10-x) cmとなる。

正方形ABCDの面積は $10 \times 10 = 100$ cm²。

三角形ABPの面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times (10-x) = 50 - 5x$ cm²。

三角形ADQの面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times x = 5x$ cm²。

三角形CPQの面積は $\frac{1}{2} \times (10-x) \times x = 5x - \frac{1}{2}x^2$ cm²。

三角形APQの面積は、正方形ABCDの面積から三角形ABP、三角形ADQ、三角形CPQの面積を引いたものに等しい。

よって、

$42 = 100 - (50 - 5x) - 5x - (5x - \frac{1}{2}x^2)$

$42 = 100 - 50 + 5x - 5x - 5x + \frac{1}{2}x^2$

$42 = 50 - 5x + \frac{1}{2}x^2$

$\frac{1}{2}x^2 - 5x + 8 = 0$

$x^2 - 10x + 16 = 0$

$(x - 2)(x - 8) = 0$

$x = 2$ または $x = 8$

3. 最終的な答え

点PがCから2cmまたは8cm動いたとき、三角形APQの面積は42cm²になる。

答え：2, 8